Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-\infty}^{-3} \frac{x}{4-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar convergência e, se convergente, calcular o valor da integral imprópria
\int_{-\infty}^{-3} \frac{x}{4-x^{2}}\,dx.
Informações importantes dadas:
  • O intervalo de integração é (-\infty,-3], ou seja, o limite inferior é infinito.
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{x}{4-x^{2}}.
  • Observação de pontos onde o denominador se anula: 4-x^{2}=0 quando x=\pm2. Esses pontos estão fora do intervalo de integração (-\infty,-3], portanto não há singularidade finita dentro do intervalo; a única impropriedade vem do limite infinito em -\infty.
    O que se pede: decidir se a integral impropria converge (tem um valor finito) e, caso positivo, calcular esse valor.

Passo 2

O que significa tratar a integral como impropria aqui: escreveremos a integral como limite de integrais próprias com um limite que tende a infinito. Definimos, para a>0,
I(a)=\int_{-a}^{-3}\frac{x}{4-x^{2}}\,dx
e então a integral original é
\int_{-\infty}^{-3}\frac{x}{4-x^{2}}\,dx=\lim_{a\to\infty} I(a).
Se esse limite existir como número finito, dizemos que a integral converge; se o limite não existir ou for infinito, a integral diverge. Este é o procedimento padrão para integrais com um extremo infinito.

Passo 3

Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) da função f(x)=\dfrac{x}{4-x^{2}}. Uma substituição simples funciona bem: seja
u=4-x^{2}.
Então
du = -2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral indefinida,
\int \frac{x}{4-x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int \frac{du}{u} = -\tfrac{1}{2}\ln|u| + C.
Voltando para x,
\int \frac{x}{4-x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{2}\ln|4-x^{2}| + C.
Isso significa que uma primitiva válida é
F(x) = -\tfrac{1}{2}\ln|4-x^{2}|.
Aqui C é a constante de integração (não necessária para integrais definidas).

Passo 4

Usamos a primitiva para escrever I(a). Pela regra do valor fundamental do cálculo,
I(a)=\int_{-a}^{-3}\frac{x}{4-x^{2}}\,dx = F(-3)-F(-a),
ou seja
I(a) = -\tfrac{1}{2}\ln|4-(-3)^{2}| - \left(-\tfrac{1}{2}\ln|4-(-a)^{2}|\right).
Calculemos as expressões absolutas:
4-(-3)^{2}=4-9=-5,\quad |4-(-3)^{2}|=5,
4-(-a)^{2}=4-a^{2} \quad\text{e}\quad |4-a^{2}|=a^{2}-4\quad\text{para }a>2.
Portanto, para a>3,
I(a) = -\tfrac{1}{2}\ln 5 + \tfrac{1}{2}\ln(a^{2}-4) = \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{a^{2}-4}{5}\right).

Passo 5

Agora investigamos o limite quando a\to\infty:
\lim_{a\to\infty} I(a) = \lim_{a\to\infty} \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{a^{2}-4}{5}\right).
Para a grande, a^{2}-4\sim a^{2}, então o argumento do logaritmo cresce como a^{2} e o logaritmo cresce como 2\ln a. Mais formalmente,
\lim_{a\to\infty}\ln(a^{2}-4)=\infty,
então
\lim_{a\to\infty} \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{a^{2}-4}{5}\right)=\infty.
Portanto o limite não é finito: a integral diverge (tende a +\infty).

Passo 6

Uma verificação intuitiva rápida: para x muito negativo, 4-x^{2} é negativo e grande em módulo, e x é negativo, então \dfrac{x}{4-x^{2}} é aproximadamente \dfrac{x}{-x^{2}}=-\dfrac{1}{x}. Para x negativo grande isso é aproximadamente +\dfrac{1}{|x|}, e sabemos que \int_{M}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx diverge (logaritmo que cresce sem limite). Isso confirma que a integral deve divergir para +\infty, consistindo com o cálculo rigoroso anterior.

Resposta

Diverge para +\infty.

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