Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar convergência e, se convergente, calcular o valor da integral imprópria
Informações importantes dadas:
- O intervalo de integração é
, ou seja, o limite inferior é infinito. - A função integranda é
. - Observação de pontos onde o denominador se anula:
quando . Esses pontos estão fora do intervalo de integração , portanto não há singularidade finita dentro do intervalo; a única impropriedade vem do limite infinito em .
O que se pede: decidir se a integral impropria converge (tem um valor finito) e, caso positivo, calcular esse valor.
Passo 2
O que significa tratar a integral como impropria aqui: escreveremos a integral como limite de integrais próprias com um limite que tende a infinito. Definimos, para
,
e então a integral original é
Se esse limite existir como número finito, dizemos que a integral converge; se o limite não existir ou for infinito, a integral diverge. Este é o procedimento padrão para integrais com um extremo infinito.
Passo 3
Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) da função
. Uma substituição simples funciona bem: seja
Então
Substituindo na integral indefinida,
Voltando para
,
Isso significa que uma primitiva válida é
Aqui
é a constante de integração (não necessária para integrais definidas).
Passo 4
Usamos a primitiva para escrever
. Pela regra do valor fundamental do cálculo,
ou seja
Calculemos as expressões absolutas:
Portanto, para
,
Passo 5
Agora investigamos o limite quando
:
Para
grande,
, então o argumento do logaritmo cresce como
e o logaritmo cresce como
. Mais formalmente,
então
Portanto o limite não é finito: a integral diverge (tende a
).
Passo 6
Uma verificação intuitiva rápida: para
muito negativo,
é negativo e grande em módulo, e
é negativo, então
é aproximadamente
. Para
negativo grande isso é aproximadamente
, e sabemos que
diverge (logaritmo que cresce sem limite). Isso confirma que a integral deve divergir para
, consistindo com o cálculo rigoroso anterior.
Resposta
Diverge para
.