Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular seu valor. As informações dadas são exatamente a função integranda
e os limites de integração de
até
. Vou responder: (i) se a integral converge; (ii) o valor da integral quando converge.
Passo 2
Primeiro, lembro o que significa integrar até o infinito: a integral imprópria é definida como um limite finito
Portanto, vou estudar a integral em
e depois tomar o limite
.
Passo 3
Antes de calcular explicitamente, verifico a convergência por comparação. Para
vale
logo
Conhecemos o teste-p: a integral
converge se e somente se
. Aqui
, então
converge. Pelo teste de comparação (integrando uma função não negativa menor ou igual a uma função integrável), concluo que
converge. Então posso seguir e calcular seu valor.
Passo 4
Para calcular a integral exata, faço decomposição em frações parciais. Escrevo
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes do polinômio no lado direito com
(que é
), obtemos o sistema
Assim
e
. Logo
Passo 5
Agora integro a expressão em
:
As antiderivadas são conhecidas:
e
. Como
posso omitir valor absoluto. Portanto
Passo 6
Avalio o termo de cima e depois faço o limite:
Como
, isso fica
Agora tomo o limite
. Observando que
segue
Portanto a integral converge e seu valor é
.
Passo 7
Resumo intuitivo rápido (motivação para lembrar na prova): a integranda tem cauda parecida com
para
grande, por isso a integral impropria não tem problema no infinito; a técnica útil aqui é decomposição em frações parciais que transforma a integral numa diferença de logaritmos que se telescopa no limite.
Resposta
Convergente