Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+x}\,dx
é convergente e, se for, calcular seu valor. As informações dadas são exatamente a função integranda \dfrac{1}{x^{2}+x} e os limites de integração de 1 até +\infty. Vou responder: (i) se a integral converge; (ii) o valor da integral quando converge.

Passo 2

Primeiro, lembro o que significa integrar até o infinito: a integral imprópria é definida como um limite finito
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+x}\,dx := \lim_{R\to\infty} \int_{1}^{R} \frac{1}{x^{2}+x}\,dx.
Portanto, vou estudar a integral em [1,R] e depois tomar o limite R\to\infty.

Passo 3

Antes de calcular explicitamente, verifico a convergência por comparação. Para x\ge 1 vale
x^{2}+x \ge x^{2},
logo
0 \le \frac{1}{x^{2}+x} \le \frac{1}{x^{2}} \quad\text{para } x\ge 1.
Conhecemos o teste-p: a integral
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx
converge se e somente se p>1. Aqui p=2>1, então \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^{2}}\,dx converge. Pelo teste de comparação (integrando uma função não negativa menor ou igual a uma função integrável), concluo que
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+x}\,dx
converge. Então posso seguir e calcular seu valor.

Passo 4

Para calcular a integral exata, faço decomposição em frações parciais. Escrevo
\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando por x(x+1) obtemos
1 = A(x+1)+B x = (A+B)x + A.
Comparando coeficientes do polinômio no lado direito com 1 (que é 0\cdot x + 1), obtemos o sistema
A+B=0,\qquad A=1.
Assim A=1 e B=-1. Logo
\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Agora integro a expressão em [1,R]:
\int_{1}^{R} \frac{1}{x^{2}+x}\,dx=\int_{1}^{R}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx.
As antiderivadas são conhecidas: \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C e \int \dfrac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C. Como x\ge 1 posso omitir valor absoluto. Portanto
\int_{1}^{R}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx=\bigl[\ln x - \ln(x+1)\bigr]_{1}^{R}.

Passo 6

Avalio o termo de cima e depois faço o limite:
\bigl[\ln x - \ln(x+1)\bigr]_{1}^{R}=\bigl(\ln R - \ln(R+1)\bigr)-\bigl(\ln 1 - \ln 2\bigr).
Como \ln 1=0, isso fica
\ln\!\left(\frac{R}{R+1}\right)+\ln 2=\ln\!\left(\frac{2R}{R+1}\right).
Agora tomo o limite R\to\infty. Observando que
\lim_{R\to\infty}\frac{R}{R+1}=1,
segue
\lim_{R\to\infty}\ln\!\left(\frac{2R}{R+1}\right)=\ln\!\left(2\cdot 1\right)=\ln 2.
Portanto a integral converge e seu valor é \ln 2.

Passo 7

Resumo intuitivo rápido (motivação para lembrar na prova): a integranda tem cauda parecida com 1/x^{2} para x grande, por isso a integral impropria não tem problema no infinito; a técnica útil aqui é decomposição em frações parciais que transforma a integral numa diferença de logaritmos que se telescopa no limite.

Resposta

Convergente
\ln 2

Exercícios relacionados