Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar convergência e, se possível, calcular o valor da integral imprópria
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Observação importante: o denominador
anula-se em . Assim há uma singularidade no extremo esquerdo do intervalo (o ponto torna a integral imprópria).
Passo 2
Classificação do problema como integral imprópria e estratégia:
- Como a singularidade está em uma extremidade do intervalo (em
), definimos a integral como limite lateral pela direita:
- A estratégia é encontrar uma primitiva do integrando (para poder avaliar a integral definida em
) e, em seguida, estudar o comportamento do limite quando .
Passo 3
Encontrar uma primitiva do integrando (passo a passo bem explicado):
- Faço a substituição auxiliar
. Então e . Reescrevendo:
Voltando para
,
- Agora integro termo a termo. Lembrando fórmulas básicas:
-
. -
porque .
-
- Assim uma primitiva
do integrando é
(Verificação rápida:
.)
Passo 4
Expressar a integral imprópria pelo limite usando a primitiva:
Calculo o valor em
:
Portanto
Passo 5
Analisar o limite
:
- Defina
. Quando tem-se . Reescrevendo a parte que depende de :
- É mais simples estudar
quando . Para pequeno e positivo, tende a muito mais rápido do que tende a . Formalmente,
logo
e, portanto,
- Voltando à expressão original, isso significa
- Assim o limite que define a integral
vale
. Ou seja, o limite não é um número finito.
Passo 6
Interpretação por comparação (intuição alternativa, útil na prova):
- Perto de
escreva pequeno. Então
ou seja
se comporta como
que tem integral divergente quando integrado ao redor de
(pois
diverge). Isso confirma que a integral impropria diverge, e o sinal indica divergência para
.
Resposta
A integral é divergente (não converge); o limite que a define tende a
.