Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar convergência e, se possível, calcular o valor da integral imprópria
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é \dfrac{x}{(x+1)^{2}}.
  • O intervalo de integração é [-1,2].
  • Observação importante: o denominador (x+1)^{2} anula-se em x=-1. Assim há uma singularidade no extremo esquerdo do intervalo (o ponto x=-1 torna a integral imprópria).

Passo 2

Classificação do problema como integral imprópria e estratégia:
  • Como a singularidade está em uma extremidade do intervalo (em x=-1), definimos a integral como limite lateral pela direita:
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx = \lim_{a\to -1^{+}} \int_{a}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx.
  • A estratégia é encontrar uma primitiva do integrando (para poder avaliar a integral definida em [a,2]) e, em seguida, estudar o comportamento do limite quando a\to -1^{+}.

Passo 3

Encontrar uma primitiva do integrando (passo a passo bem explicado):
  • Faço a substituição auxiliar u=x+1. Então x=u-1 e (x+1)^{2}=u^{2}. Reescrevendo:
\frac{x}{(x+1)^{2}}=\frac{u-1}{u^{2}}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}}.
Voltando para x,
\frac{x}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
  • Agora integro termo a termo. Lembrando fórmulas básicas:
    • \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C.
    • \displaystyle \int -\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx=\frac{1}{x+1}+C porque \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x+1}\right)=-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
  • Assim uma primitiva F(x) do integrando é
F(x)=\ln|x+1|+\frac{1}{x+1}+C.
(Verificação rápida: F'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x}{(x+1)^{2}}.)

Passo 4

Expressar a integral imprópria pelo limite usando a primitiva:
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx = \lim_{a\to -1^{+}} \left[ F(2)-F(a)\right] = \lim_{a\to -1^{+}} \left(\ln|2+1|+\frac{1}{2+1}-\ln|a+1|-\frac{1}{a+1}\right).
Calculo o valor em x=2:
F(2)=\ln 3+\frac{1}{3}.
Portanto
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx = \lim_{a\to -1^{+}} \left(\ln 3+\frac{1}{3}-\ln|a+1|-\frac{1}{a+1}\right).

Passo 5

Analisar o limite \displaystyle \lim_{a\to -1^{+}} \bigl(-\ln|a+1|-\frac{1}{a+1}\bigr):
  • Defina t=a+1. Quando a\to -1^{+} tem-se t\to 0^{+}. Reescrevendo a parte que depende de a:
-\ln|a+1|-\frac{1}{a+1} = -\ln t -\frac{1}{t}.
  • É mais simples estudar \ln t + \frac{1}{t} quando t\to 0^{+}. Para t pequeno e positivo, \dfrac{1}{t} tende a +\infty muito mais rápido do que \ln t tende a -\infty. Formalmente,
\lim_{t\to 0^{+}} \frac{\ln t}{1/t}=\lim_{t\to 0^{+}} t\ln t =0,
logo \ln t=o\!\left(\dfrac{1}{t}\right) e, portanto,
\lim_{t\to 0^{+}}\left(\ln t+\frac{1}{t}\right)=+\infty.
  • Voltando à expressão original, isso significa
\lim_{a\to -1^{+}}\left(-\ln|a+1|-\frac{1}{a+1}\right) = -\lim_{t\to 0^{+}}\left(\ln t+\frac{1}{t}\right) = -\infty.
  • Assim o limite que define a integral
\lim_{a\to -1^{+}} \left(\ln 3+\frac{1}{3}-\ln|a+1|-\frac{1}{a+1}\right)
vale \ln 3+\dfrac{1}{3} + (-\infty)= -\infty. Ou seja, o limite não é um número finito.

Passo 6

Interpretação por comparação (intuição alternativa, útil na prova):
  • Perto de x=-1^{+} escreva t=x+1>0 pequeno. Então
\frac{x}{(x+1)^{2}}=\frac{u-1}{u^{2}}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}}\approx -\frac{1}{u^{2}} \quad\text{(pois \(u\) pequeno torna \(-1/u^{2}\) dominante)},
ou seja \dfrac{x}{(x+1)^{2}} se comporta como -\dfrac{1}{(x+1)^{2}} que tem integral divergente quando integrado ao redor de x=-1 (pois \int_{0}^{\epsilon}\!t^{-2}dt diverge). Isso confirma que a integral impropria diverge, e o sinal indica divergência para -\infty.

Resposta

A integral é divergente (não converge); o limite que a define tende a -\infty.

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