Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular o seu valor.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função integranda é
definida para . - O intervalo de integração é
, ou seja, a integral é imprópria por causa do limite superior infinito. - Não há singularidade da função em
(pois é finito).
Passo 2
Definição de integral imprópria que vou usar: dizer que
Se esse limite existir (for finito), a integral é convergente; caso contrário, diverge. Vou transformar a integral num cálculo mais simples por substituição para poder avaliar esse limite.
Passo 3
Faço a substituição adequada para eliminar a raiz quadrada. Defino
Então
e, diferenciando,
. Os limites mudam assim: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo na integral obtemos
Passo 4
Agora analiso a convergência da integral transformada. A função
é contínua em
e, para
, decai exponencialmente (o fator
vence qualquer crescimento polinomial de
). Portanto a integral imprópria
é convergente. Isso implica que a integral original também é convergente. Para obter o valor preciso, prossigo calculando a integral transformada.
Passo 5
Calculo a integral
por partes (ou reconhecendo a função Gamma). Faço por partes: tomo
e
. Então
e
. Assim, em forma indefinida,
Agora avalio como integral imprópria:
Calculo os termos:
- Para
, (exponencial domina polinomial). - Para
, .
Portanto
Passo 6
Voltando à expressão obtida no Passo 3, temos
Concluo que a integral é convergente e seu valor é
.
Resposta
Convergente.