Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}} d y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}}\,dy
é convergente e, se for, calcular o seu valor.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é y\mapsto e^{-\sqrt{y}} definida para y\ge 0.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), ou seja, a integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
  • Não há singularidade da função em y=0 (pois e^{-\sqrt{0}}=1 é finito).

Passo 2

Definição de integral imprópria que vou usar: dizer que
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}}\,dy = \lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} e^{-\sqrt{y}}\,dy.
Se esse limite existir (for finito), a integral é convergente; caso contrário, diverge. Vou transformar a integral num cálculo mais simples por substituição para poder avaliar esse limite.

Passo 3

Faço a substituição adequada para eliminar a raiz quadrada. Defino
u=\sqrt{y}.
Então y=u^{2} e, diferenciando, dy=2u\,du. Os limites mudam assim: quando y=0 temos u=0; quando y\to\infty temos u\to\infty. Substituindo na integral obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}}\,dy = \int_{0}^{\infty} e^{-u}\, (2u)\,du = 2\int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du.

Passo 4

Agora analiso a convergência da integral transformada. A função u\mapsto u\,e^{-u} é contínua em [0,\infty) e, para u\to\infty, decai exponencialmente (o fator e^{-u} vence qualquer crescimento polinomial de u). Portanto a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du
é convergente. Isso implica que a integral original também é convergente. Para obter o valor preciso, prossigo calculando a integral transformada.

Passo 5

Calculo a integral \int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du por partes (ou reconhecendo a função Gamma). Faço por partes: tomo v=u e dw=e^{-u}\,du. Então dv=du e w=-e^{-u}. Assim, em forma indefinida,
\int u\,e^{-u}\,du = -u\,e^{-u} + \int e^{-u}\,du = -u\,e^{-u} - e^{-u} + C = -(u+1)e^{-u} + C.
Agora avalio como integral imprópria:
\int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du = \lim_{B\to\infty}\bigl[-(u+1)e^{-u}\bigr]_{0}^{B}.
Calculo os termos:
  • Para B\to\infty, (B+1)e^{-B}\to 0 (exponencial domina polinomial).
  • Para u=0, -(0+1)e^{0} = -1.
    Portanto
\int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du = 0 - (-1) = 1.

Passo 6

Voltando à expressão obtida no Passo 3, temos
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}}\,dy = 2\int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du = 2\cdot 1 = 2.
Concluo que a integral é convergente e seu valor é 2.

Resposta

Convergente.
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}}\,dy = 2

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