desde que esse limite exista e seja finito. Portanto, para verificar convergência precisamos calcular \int_{1}^{b}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}dx e depois tomar b\to\infty.
Passo 3
Vamos achar uma primitiva (antiderivada) de f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}. Uso a identidade geral para potências exponenciais: para a>0, a\neq1,
a^{x}=e^{x\ln a},
portanto
\int a^{x}\,dx = \int e^{x\ln a}\,dx.
Como a derivada de e^{k x} é k e^{k x}, a primitiva de e^{k x} é \dfrac{1}{k}e^{k x}. Aplicando com k=\ln a obtemos a fórmula
\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,
válida para a>0, a\neq1. Aqui cada símbolo significa:
a é a base da potência,
x é a variável de integração,
\ln a é o logaritmo natural de a,
C é constante de integração.
Passo 4
Aplicando a fórmula com a=\dfrac{1}{3} encontramos a primitiva de f:
\int\left(\frac{1}{3}\right)^{x}dx = \frac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}}{\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)} + C.
Usando \ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = -\ln 3, isso simplifica para
-\frac{1}{3\,(-\ln 3)} = \frac{1}{3\ln 3}.
Passo 6
Interpretação final: o limite é finito, portanto a integral imprópria converge, e seu valor é \dfrac{1}{3\ln 3}. Uma checagem rápida: para qualquer 0<a<1 vale \int_{1}^{\infty} a^{x}dx = \dfrac{a}{-\ln a}=\dfrac{a}{\ln(1/a)}; aqui a=\dfrac{1}{3} dá exatamente o resultado acima. Força aí — integral resolvida!