Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x} d x
é convergente e, se for, calcular o seu valor. Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}.
  • O intervalo de integração é [1,\infty), por isso a integral é imprópria devido ao limite superior infinito.
  • A base da potência é \dfrac{1}{3}, ou seja 0<\dfrac{1}{3}<1.

Passo 2

Definição usada para integrais impróprias com limite infinito: a integral
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
é definida como o limite
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} f(x)\,dx,
desde que esse limite exista e seja finito. Portanto, para verificar convergência precisamos calcular \int_{1}^{b}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}dx e depois tomar b\to\infty.

Passo 3

Vamos achar uma primitiva (antiderivada) de f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}. Uso a identidade geral para potências exponenciais: para a>0, a\neq1,
a^{x}=e^{x\ln a},
portanto
\int a^{x}\,dx = \int e^{x\ln a}\,dx.
Como a derivada de e^{k x} é k e^{k x}, a primitiva de e^{k x} é \dfrac{1}{k}e^{k x}. Aplicando com k=\ln a obtemos a fórmula
\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,
válida para a>0, a\neq1. Aqui cada símbolo significa:
  • a é a base da potência,
  • x é a variável de integração,
  • \ln a é o logaritmo natural de a,
  • C é constante de integração.

Passo 4

Aplicando a fórmula com a=\dfrac{1}{3} encontramos a primitiva de f:
\int\left(\frac{1}{3}\right)^{x}dx = \frac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}}{\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)} + C.
Agora calculamos a integral definida até b:
\int_{1}^{b}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}dx = \left.\frac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}}{\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)}\right|_{x=1}^{x=b} = \frac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{b}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1}}{\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)}.

Passo 5

Tomamos o limite quando b\to\infty. Como 0<\dfrac{1}{3}<1, tem-se \left(\dfrac{1}{3}\right)^{b}\to 0 quando b\to\infty. Logo
\int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}dx = \lim_{b\to\infty}\frac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{b}-\left(\dfrac{1}{3}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)} = \frac{0-\dfrac{1}{3}}{\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)} = -\frac{1}{3\,\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)}.
Usando \ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = -\ln 3, isso simplifica para
-\frac{1}{3\,(-\ln 3)} = \frac{1}{3\ln 3}.

Passo 6

Interpretação final: o limite é finito, portanto a integral imprópria converge, e seu valor é \dfrac{1}{3\ln 3}. Uma checagem rápida: para qualquer 0<a<1 vale \int_{1}^{\infty} a^{x}dx = \dfrac{a}{-\ln a}=\dfrac{a}{\ln(1/a)}; aqui a=\dfrac{1}{3} dá exatamente o resultado acima. Força aí — integral resolvida!

Resposta

Convergente: \dfrac{1}{3\ln 3}

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