Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se possível, calcular seu valor. Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - Observação importante:
tem singularidade em , porque aí o denominador zera, mas esse ponto não pertence ao intervalo de integração (já que ). Portanto, não há singularidade interior ao intervalo; a impropriedade vem apenas do limite superior infinito.
Passo 2
Definição e estratégia: uma integral própria com limite infinito é definida como limite de integrais em intervalos finitos. Ou seja, define-se
Para calcular a integral indefinida de
usamos a substituição simples
. Explicando passo a passo:
- Seja
. Então . - A integral indefinida fica
.
Voltando à variável, um primitivo é
Como neste intervalo
temos
, podemos simplificar
e escrever o logaritmo sem valor absoluto.
Passo 3
Calcular a integral no intervalo finito
e depois tomar o limite
.
- Para
,
- Agora fazemos o limite quando
:
Sabendo que
, segue que
. Portanto o limite acima é
.
Também dá para entender intuitivamente: para
grande,
comporta-se como
, e a integral
diverge (é o chamado comportamento harmônico). Assim não há cancelamento que leve a um valor finito.
Passo 4
Conclusão e interpretação: a integral imprópria não converge para um número real; ela diverge e o valor tende a
. Ou seja, a área sob a curva
de
até
é infinita.