Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-2}^{\infty} \frac{1}{x+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-2}^{\infty} \frac{1}{x+4}\,dx
é convergente e, se possível, calcular seu valor. Informações dadas:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{x+4}.
  • O intervalo de integração é [-2,\infty).
  • Observação importante: f tem singularidade em x=-4, porque aí o denominador zera, mas esse ponto não pertence ao intervalo de integração (já que -4<-2). Portanto, não há singularidade interior ao intervalo; a impropriedade vem apenas do limite superior infinito.

Passo 2

Definição e estratégia: uma integral própria com limite infinito é definida como limite de integrais em intervalos finitos. Ou seja, define-se
\int_{-2}^{\infty} \frac{1}{x+4}\,dx := \lim_{b\to\infty} \int_{-2}^{b} \frac{1}{x+4}\,dx.
Para calcular a integral indefinida de \dfrac{1}{x+4} usamos a substituição simples u=x+4. Explicando passo a passo:
  • Seja u=x+4. Então du=dx.
  • A integral indefinida fica \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
    Voltando à variável x, um primitivo é
\int \frac{1}{x+4}\,dx = \ln|x+4| + C.
Como neste intervalo [-2,b] temos x+4\ge -2+4=2>0, podemos simplificar |x+4|=x+4 e escrever o logaritmo sem valor absoluto.

Passo 3

Calcular a integral no intervalo finito [-2,b] e depois tomar o limite b\to\infty.
  • Para b>-2,
\int_{-2}^{b} \frac{1}{x+4}\,dx = \big[\ln(x+4)\big]_{x=-2}^{x=b} = \ln(b+4) - \ln(2).
  • Agora fazemos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty} \big(\ln(b+4) - \ln(2)\big) = \lim_{b\to\infty} \ln(b+4) - \ln(2).
Sabendo que \lim_{t\to\infty}\ln t = +\infty, segue que \lim_{b\to\infty}\ln(b+4)=+\infty. Portanto o limite acima é +\infty.
Também dá para entender intuitivamente: para x grande, \dfrac{1}{x+4} comporta-se como \dfrac{1}{x}, e a integral \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx diverge (é o chamado comportamento harmônico). Assim não há cancelamento que leve a um valor finito.

Passo 4

Conclusão e interpretação: a integral imprópria não converge para um número real; ela diverge e o valor tende a +\infty. Ou seja, a área sob a curva \dfrac{1}{x+4} de x=-2 até x\to\infty é infinita.

Resposta

\text{Diverge para }+\infty

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