Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+4}\,dx
é convergente e, se for, tentar calcular o seu valor.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A integral é imprópria porque o limite superior é infinito.
  • A função integrando é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4}.
  • Para todo x\ge 1 a função f(x) é positiva e contínua (não tem descontinuidade em [1,\infty)).
  • Portanto, podemos definir a integral imprópria como um limite de integrais próprias: substituir o infinito por b e depois fazer b\to\infty.

Passo 2

Definição e critério de convergência que vou usar:
  • A integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx é definida como
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} f(x)\,dx,
desde que esse limite exista (finito). Se o limite for finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.
  • Como f(x) é contínua em [1,b] para todo b>1, a integral \int_{1}^{b} f(x)\,dx está bem definida, e resta avaliar o limite quando b\to\infty.

Passo 3

Vou encontrar uma primitiva de f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4}. Há uma fórmula padrão útil:
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
onde a>0. Explico rapidamente por que isso é verdade (passo a passo):
  • Faça a substituição u=\dfrac{x}{a}. Então x=au e dx=a\,du.
  • Substituindo em \int \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx obtém-se
\int \frac{1}{a^{2}u^{2}+a^{2}} \cdot a\,du = \int \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{u^{2}+1}\,du = \frac{1}{a}\arctan(u)+C.
  • Voltando a x: \dfrac{1}{a}\arctan\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C. Também dá para checar derivando essa primitiva: a derivada de \dfrac{1}{a}\arctan\!\left(\dfrac{x}{a}\right) é exatamente \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula com a=2 (porque x^{2}+4 = x^{2}+2^{2}), obtemos uma primitiva
F(x)=\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Agora escrevemos a integral imprópria como limite:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[ \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{x=1}^{x=b}.
Isso dá
\lim_{b\to\infty} \frac{1}{2}\left(\arctan\!\left(\frac{b}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right)\right).
Sabendo que \arctan(t)\to \tfrac{\pi}{2} quando t\to\infty, tem-se
\lim_{b\to\infty}\arctan\!\left(\frac{b}{2}\right)=\frac{\pi}{2}.
Portanto a integral vale
\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right).

Passo 5

Verificação adicional de convergência por comparação (intuitiva e útil na prova):
  • Para x\ge 1 vale x^{2}+4 \ge x^{2}, logo
0\le \frac{1}{x^{2}+4}\le \frac{1}{x^{2}}.
  • A integral \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^{2}}\,dx converge (é igual a 1), então pelo teste de comparação a integral dada também converge. Isso confirma a conclusão obtida pelo cálculo explícito.

Resposta

A integral converge e seu valor é \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right) \approx 0,5536.

Exercícios relacionados