Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, tentar calcular o seu valor.
Informações dadas e observações imediatas:
- A integral é imprópria porque o limite superior é infinito.
- A função integrando é
. - Para todo
a função é positiva e contínua (não tem descontinuidade em ). - Portanto, podemos definir a integral imprópria como um limite de integrais próprias: substituir o infinito por
e depois fazer .
Passo 2
Definição e critério de convergência que vou usar:
- A integral imprópria
é definida como
desde que esse limite exista (finito). Se o limite for finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.
- Como
é contínua em para todo , a integral está bem definida, e resta avaliar o limite quando .
Passo 3
Vou encontrar uma primitiva de
. Há uma fórmula padrão útil:
onde
. Explico rapidamente por que isso é verdade (passo a passo):
- Faça a substituição
. Então e . - Substituindo em
obtém-se
- Voltando a
: . Também dá para checar derivando essa primitiva: a derivada de é exatamente .
Passo 4
Aplicando a fórmula com
(porque
), obtemos uma primitiva
Agora escrevemos a integral imprópria como limite:
Isso dá
Sabendo que
quando
, tem-se
Portanto a integral vale
Passo 5
Verificação adicional de convergência por comparação (intuitiva e útil na prova):
- Para
vale , logo
- A integral
converge (é igual a ), então pelo teste de comparação a integral dada também converge. Isso confirma a conclusão obtida pelo cálculo explícito.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.