Verifique se as integrais impróprias convergem ou não.
integral0^+infty x^2(x^3+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria integral0^+infty x^2(x^3+1)^2,dx. O conteúdo aqui é o teste de comparação assintótico para integrais impróprias, e vamos precisar analisar o comportamento do integrando perto dos pontos problemáticos: 0 e +infty.

Passo 2

Analisando o comportamento em xto 0: para x muito pequeno, temos x^3+1approx 1, logo
x^2(x^3+1)^2sim x^2

Passo 3

Como integral0^a x^2,dx converge (é um caso de p-integral com p=2>-1), a integral da função original também converge em torno de 0 por comparação.

Passo 4

Analisando o comportamento em xto +infty: para x grande, x^3+1approx x^3, então
x^2(x^3+1)^2sim x^2x^6 = x^-4

Passo 5

Como integralA^+infty x^-4,dx converge (é um caso de p-integral com p=4>1), a integral da função original também converge em torno de +infty por comparação.

Passo 6

Já que a integral converge em ambos os extremos (0 e +\infty), concluímos que a integral imprópria é convergente.

Resposta

A integral imprópria converge.

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