Verifique se as integrais impróprias convergem ou não.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
. O conteúdo aqui é o teste de comparação assintótico para integrais impróprias, e vamos precisar analisar o comportamento do integrando perto dos pontos problemáticos: 0 e
.
Passo 2
Analisando o comportamento em
: para
muito pequeno, temos
, logo
Passo 3
Como
converge (é um caso de p-integral com
), a integral da função original também converge em torno de 0 por comparação.
Passo 4
Analisando o comportamento em
: para
grande,
, então
Passo 5
Como
converge (é um caso de p-integral com
), a integral da função original também converge em torno de
por comparação.
Passo 6
Já que a integral converge em ambos os extremos (0 e +\infty), concluímos que a integral imprópria é convergente.
Resposta
A integral imprópria converge.