Verifique qual das integrais impróprias (de 1^{a} e/ou de 2^{a} espécie) é convergente. Justifique se não for convergente e calcule a integral se for convergente.
Calcule as integrais impróprias:
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^{3}}\,dx
é de primeira ou segunda espécie, testar sua convergência e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo necessário envolve definição de integral imprópria, teste de comparação e técnica de integração por partes.

Passo 2

Há um problema de “infinito” no limite superior x\to\infty, sem descontinuidade interna no integrando. Logo é uma integral imprópria de segunda espécie.

Passo 3

Para testar a convergência, usamos o teste de comparação com 1/x^{2}. Note que para x\ge2 temos
0\le\frac{\ln(x)}{x^{3}} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)/x^{3}}{1/x^{2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0.
Como \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx converge (é uma p-integral com p=2>1), a nossa integral também converge por comparação.

Passo 4

Calculamos a integral por partes. Tomamos
u=\ln(x),\quad dv=x^{-3}dx \quad\Longrightarrow\quad du=\frac{1}{x}dx,\quad v=-\frac{1}{2}x^{-2}.
Então
\int\frac{\ln(x)}{x^{3}}\,dx =u\,v-\int v\,du =-\frac{1}{2}x^{-2}\ln(x)-\int\Bigl(-\frac{1}{2}x^{-2}\Bigr)\frac{1}{x}dx =-\frac{\ln(x)}{2x^{2}}+\frac{1}{2}\int x^{-3}dx.
E
\int x^{-3}dx=-\frac{1}{2}x^{-2},
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\int\frac{\ln(x)}{x^{3}}\,dx =-\frac{\ln(x)}{2x^{2}}-\frac{1}{4x^{2}}+C.

Passo 5

Aplicando os limites de 2 a \infty:
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^{3}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\frac{\ln(x)}{2x^{2}}-\frac{1}{4x^{2}}\Bigr]_{2}^{b} =\bigl(0-0\bigr)\;-\;\Bigl(-\frac{\ln(2)}{8}-\frac{1}{16}\Bigr) =\frac{\ln(2)}{8}+\frac{1}{16} =\frac{2\ln(2)+1}{16}.

Resposta

A integral é imprópria de segunda espécie, converge e vale
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^{3}}\,dx =\frac{2\ln(2)+1}{16}.

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