Verifique qual das integrais impróprias (de
e/ou de
espécie) é convergente. Justifique se não for convergente e calcule a integral se for convergente.
Calcule as integrais impróprias:
Calcule as integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é de primeira ou segunda espécie, testar sua convergência e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo necessário envolve definição de integral imprópria, teste de comparação e técnica de integração por partes.
Passo 2
Há um problema de “infinito” no limite superior
, sem descontinuidade interna no integrando. Logo é uma integral imprópria de segunda espécie.
Passo 3
Para testar a convergência, usamos o teste de comparação com
. Note que para
temos
Como
converge (é uma
-integral com
), a nossa integral também converge por comparação.
Passo 4
Calculamos a integral por partes. Tomamos
Então
E
logo
Passo 5
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
A integral é imprópria de segunda espécie, converge e vale