Verifique qual das integrais impróprias (de 1^{a} e/ou de 2^{a} espécie) é convergente. Justifique se não for convergente e calcule a integral se for convergente.
Calcule as integrais impróprias:
\int_{0^{+}}^{1} \frac{1}{x^{1 / 3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral
\int_{0^{+}}^{1}\frac{1}{x^{1/3}}\,dx
que é imprópria de 1ª espécie, pois a função \tfrac1{x^{1/3}} diverge quando x\to0^+. Nosso objetivo é verificar se esse limite existe (convergência) e calcular o valor da integral caso ela seja convergente.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral própria, fazendo \varepsilon\to0^+:
\int_{0^{+}}^{1}\frac{1}{x^{1/3}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-1/3}\,dx.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de x^{-1/3}. Como
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2/3}\bigr) =\frac{2}{3}\,x^{-1/3},
temos
\int x^{-1/3}\,dx =\frac{x^{2/3}}{\tfrac{2}{3}} =\frac{3}{2}\,x^{2/3}.

Passo 4

Substituímos a antiderivada nos limites de integração e tomamos o limite \varepsilon\to0^+:
\int_{\varepsilon}^{1}x^{-1/3}\,dx =\frac{3}{2}\Bigl[\,x^{2/3}\Bigr]_{\varepsilon}^{1} =\frac{3}{2}\bigl(1^{2/3}-\varepsilon^{2/3}\bigr) =\frac{3}{2}\bigl(1-\varepsilon^{2/3}\bigr).
Como \lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon^{2/3}=0, o valor da integral é finito.

Passo 5

Concluímos que a integral imprópria de 1ª espécie converge e seu valor é
\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{3}{2}\bigl(1-\varepsilon^{2/3}\bigr) =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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