Verifique qual das integrais impróprias (de 1^{a} e/ou de 2^{a} espécie) é convergente. Justifique se não for convergente e calcule a integral se for convergente.
Calcule as integrais impróprias:
\int_{2}^{\infty} e^{-3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
\int_{2}^{\infty} e^{-3x}\,dx
e, se convergente, calculá-la. Como o intervalo de integração é ilimitado em +\infty, trata-se de uma integral imprópria de 1ª espécie.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite
\int_{2}^{\infty} e^{-3x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{2}^{b} e^{-3x}\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral indefinida de e^{-3x}:
\int e^{-3x}\,dx = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}+C.

Passo 4

Avaliamo-la de 2 até b e tomamos o limite:
\int_{2}^{b} e^{-3x}\,dx =\Bigl[-\tfrac{1}{3}e^{-3x}\Bigr]_{2}^{b} =-\tfrac{1}{3}e^{-3b}+\tfrac{1}{3}e^{-6}.
Como \lim_{b\to\infty}e^{-3b}=0, obtemos
\int_{2}^{\infty} e^{-3x}\,dx = \frac{e^{-6}}{3}.

Resposta

A integral converge e vale
\frac{e^{-6}}{3}.

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