Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - O integrando tem problema (denominador zero) nos extremos do intervalo: para
e para , pois nesses pontos. - Portanto a integral é imprópria por causa de singularidades em ambas as extremidades do intervalo de integração.
Passo 2
Explicar o que significa tratar a integral como imprópria e como faremos a investigação de convergência: uma integral com singularidades nos extremos pode ser entendida como soma de dois limites finitos. Por exemplo, escolhemos um ponto interior qualquer (vou usar
) e escrevemos
Cada limite deve existir e ser finito para que a integral original seja convergente.
Passo 3
Apresentar uma ferramenta simples para testar convergência: o teste de comparação com a integral-p (um mini-aula).
- A integral-p em
tem comportamento conhecido: para ,
converge se, e somente se,
. Por exemplo, para
,
- Portanto, se numa vizinhança de
(ou de ) a nossa função for menor que uma constante vezes (ou perto de ), podemos concluir convergência nessas vizinhanças.
Passo 4
Aplicar o teste de comparação nas duas extremidades (detalhadamente).
- Perto de
: para temos . Então
Como a raiz quadrada é crescente para argumentos positivos,
logo
Como
converge (é finita), pelo teste de comparação a integral é convergente no vizinho de
.
- Perto de
: faça a troca . Para tem-se , então
Pelo mesmo argumento,
E
converge. Portanto a integral é convergente também na vizinhança de
.
Com isso já concluímos que a integral imprópria é convergente (ambos os limites existem e são finitos). Agora, se quisermos, podemos calcular seu valor exato.
Passo 5
Cálculo exato da integral por substituição (mini-aula sobre a escolha da substituição).
- Uma substituição muito útil quando aparece
é . A intuição: , cuja raiz é , o que simplifica bastante a expressão.
Executando a substituição:
Calcule a raiz:
onde escolhemos os sinais positivos porque, para
,
e
.
Determinar os limites: quando
temos
. Quando
temos
. Assim a integral transforma-se em
Essa última é trivial:
Passo 6
Conclusão final e interpretação: a integral imprópria converge e tem valor finito igual a
. A convergência pode ser verificada por comparação com integrais do tipo
perto das extremidades; a substituição
fornece o cálculo exato e mostra que não há divergência oculta.
Resposta
Convergente;