Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x-x^{2}}}\\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x-x^{2}}}
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}.
  • O integrando tem problema (denominador zero) nos extremos do intervalo: para x=0 e para x=1, pois x-x^{2}=x(1-x)=0 nesses pontos.
  • Portanto a integral é imprópria por causa de singularidades em ambas as extremidades do intervalo de integração.

Passo 2

Explicar o que significa tratar a integral como imprópria e como faremos a investigação de convergência: uma integral com singularidades nos extremos pode ser entendida como soma de dois limites finitos. Por exemplo, escolhemos um ponto interior qualquer (vou usar 1/2) e escrevemos
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x-x^{2}}} = \lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{x-x^{2}}} + \lim_{b\to 1^-}\int_{1/2}^{b}\frac{dx}{\sqrt{x-x^{2}}}.
Cada limite deve existir e ser finito para que a integral original seja convergente.

Passo 3

Apresentar uma ferramenta simples para testar convergência: o teste de comparação com a integral-p (um mini-aula).
  • A integral-p em 0 tem comportamento conhecido: para p\in\mathbb{R},
\int_{0}^{\varepsilon} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p<1. Por exemplo, para p=\tfrac{1}{2},
\int_{0}^{\varepsilon} x^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{\varepsilon}<\infty.
  • Portanto, se numa vizinhança de 0 (ou de 1) a nossa função for menor que uma constante vezes x^{-1/2} (ou (1-x)^{-1/2} perto de 1), podemos concluir convergência nessas vizinhanças.

Passo 4

Aplicar o teste de comparação nas duas extremidades (detalhadamente).
  • Perto de x=0: para x\in(0,\tfrac{1}{2}] temos 1-x\ge \tfrac{1}{2}. Então
x-x^{2}=x(1-x)\ge x\cdot\frac{1}{2}=\frac{x}{2}.
Como a raiz quadrada é crescente para argumentos positivos,
\sqrt{x-x^{2}}\ge \sqrt{\frac{x}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x},
logo
\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}\le \sqrt{2}\,\frac{1}{\sqrt{x}}.
Como \displaystyle\int_{0}^{1/2} x^{-1/2}\,dx converge (é finita), pelo teste de comparação a integral é convergente no vizinho de 0.
  • Perto de x=1: faça a troca y=1-x. Para x\in[\tfrac{1}{2},1) tem-se x\ge \tfrac{1}{2}, então
x(1-x)=x y\ge \frac{1}{2}y.
Pelo mesmo argumento,
\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\le \sqrt{2}\,\frac{1}{\sqrt{y}}=\sqrt{2}\,\frac{1}{\sqrt{1-x}}.
E \displaystyle\int_{1/2}^{1}(1-x)^{-1/2}\,dx converge. Portanto a integral é convergente também na vizinhança de 1.
Com isso já concluímos que a integral imprópria é convergente (ambos os limites existem e são finitos). Agora, se quisermos, podemos calcular seu valor exato.

Passo 5

Cálculo exato da integral por substituição (mini-aula sobre a escolha da substituição).
  • Uma substituição muito útil quando aparece x-x^{2}=x(1-x) é x=\sin^{2}\theta. A intuição: \sin^{2}\theta(1-\sin^{2}\theta)=\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta, cuja raiz é \sin\theta\cos\theta, o que simplifica bastante a expressão.
Executando a substituição:
x=\sin^{2}\theta \quad\Rightarrow\quad dx=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta.
Calcule a raiz:
\sqrt{x-x^{2}}=\sqrt{\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}=\sin\theta\cos\theta,
onde escolhemos os sinais positivos porque, para \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \sin\theta\ge0 e \cos\theta\ge0.
Determinar os limites: quando x=0 temos \sin^{2}\theta=0\Rightarrow \theta=0. Quando x=1 temos \sin^{2}\theta=1\Rightarrow \theta=\tfrac{\pi}{2}. Assim a integral transforma-se em
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x-x^{2}}} = \int_{0}^{\pi/2}\frac{2\sin\theta\cos\theta\,d\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \int_{0}^{\pi/2}2\,d\theta.
Essa última é trivial:
\int_{0}^{\pi/2}2\,d\theta = 2\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2}=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.

Passo 6

Conclusão final e interpretação: a integral imprópria converge e tem valor finito igual a \pi. A convergência pode ser verificada por comparação com integrais do tipo x^{-1/2} perto das extremidades; a substituição x=\sin^{2}\theta fornece o cálculo exato e mostra que não há divergência oculta.

Resposta

Convergente; \pi

Exercícios relacionados