Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
- O intervalo de integração é
, portanto a impropriedade vem do limite superior infinito. - A integranda é positiva para
, pois e quando . - O parâmetro
é uma constante positiva: . - A pergunta é: para quais valores de
a integral converge (tem valor finito) e para quais diverge (tende a infinito)?
Passo 2
Definição prática de convergência de integral imprópria: a integral
converge se o limite
existe e é finito. Aqui
. Para calcular essa integral, uma troca de variável simples facilita muito: use a substituição
Agora calcule
. Como
, tem-se
Também atualize os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral, obtemos
Portanto a integral original se transforma numa integral do tipo “p-integral” em
, com integrando
. Agora é padrão analisar a convergência dessa integral no infinito conforme o expoente
.
Passo 4
Estude a integral
por casos de
.
Caso 1:
. Uma primitiva de
é
Avalie o integral impróprio como limite:
- Se
, então , portanto quando . Assim o limite existe e é finito:
ou seja, converge.
- Se
, então , portanto quando . Logo o limite diverge para e a integral diverge.
Caso 2:
. Neste caso
e
e esse limite tende a
quando
. Logo diverge também para
.
Passo 5
Interpretação final e exemplo numérico curto para motivar a intuição:
- Para
a potência negativa é forte o suficiente para que a integral em decaia e a área total seja finita. Por exemplo, se a integral vale
- Para
o decaimento é fraco demais (no caso é exatamente , que dá log divergente), e a integral diverge.
Resposta
Converge para
.
Diverge para .
Diverge para