Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x(\ln x)^{\alpha}}, \alpha>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{\alpha}},\qquad \alpha>0
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
  • O intervalo de integração é [2,\infty), portanto a impropriedade vem do limite superior infinito.
  • A integranda é positiva para x>1, pois x>0 e \ln x>0 quando x>1.
  • O parâmetro \alpha é uma constante positiva: \alpha>0.
  • A pergunta é: para quais valores de \alpha>0 a integral converge (tem valor finito) e para quais diverge (tende a infinito)?

Passo 2

Definição prática de convergência de integral imprópria: a integral
\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx
converge se o limite
\lim_{b\to\infty}\int_{2}^{b} f(x)\,dx
existe e é finito. Aqui f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^{\alpha}}. Para calcular essa integral, uma troca de variável simples facilita muito: use a substituição
u=\ln x.
Agora calcule du. Como u=\ln x, tem-se
du=\frac{1}{x}\,dx\quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x}=du.
Também atualize os limites: quando x=2 temos u=\ln 2; quando x\to\infty temos u\to\infty.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral, obtemos
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{\alpha}}=\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^{\alpha}}=\int_{\ln 2}^{\infty}u^{-\alpha}\,du.
Portanto a integral original se transforma numa integral do tipo “p-integral” em u, com integrando u^{-\alpha}. Agora é padrão analisar a convergência dessa integral no infinito conforme o expoente \alpha.

Passo 4

Estude a integral
\int_{\ln 2}^{\infty}u^{-\alpha}\,du
por casos de \alpha.
Caso 1: \alpha\neq 1. Uma primitiva de u^{-\alpha} é
\int u^{-\alpha}\,du=\frac{u^{1-\alpha}}{1-\alpha}.
Avalie o integral impróprio como limite:
\int_{\ln 2}^{\infty}u^{-\alpha}\,du=\lim_{B\to\infty}\left[\frac{u^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right_{u=\ln 2}^{u=B}=\lim_{B\to\infty}\frac{B^{1-\alpha}-(\ln 2)^{1-\alpha}}{1-\alpha}.
  • Se \alpha>1, então 1-\alpha<0, portanto B^{1-\alpha}\to 0 quando B\to\infty. Assim o limite existe e é finito:
\int_{\ln 2}^{\infty}u^{-\alpha}\,du=\frac{(\ln 2)^{1-\alpha}}{\alpha-1},
ou seja, converge.
  • Se 0<\alpha<1, então 1-\alpha>0, portanto B^{1-\alpha}\to\infty quando B\to\infty. Logo o limite diverge para +\infty e a integral diverge.
Caso 2: \alpha=1. Neste caso u^{-\alpha}=u^{-1} e
\int_{\ln 2}^{B}u^{-1}\,du=\left[\ln u\right]_{u=\ln 2}^{u=B}=\ln B-\ln(\ln 2),
e esse limite tende a +\infty quando B\to\infty. Logo diverge também para \alpha=1.

Passo 5

Interpretação final e exemplo numérico curto para motivar a intuição:
  • Para \alpha>1 a potência negativa u^{-\alpha} é forte o suficiente para que a integral em u decaia e a área total seja finita. Por exemplo, se \alpha=2 a integral vale
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\frac{1}{\ln 2}.
  • Para 0<\alpha\le 1 o decaimento é fraco demais (no caso \alpha=1 é exatamente 1/u, que dá log divergente), e a integral diverge.

Resposta

Converge para \alpha>1.
Diverge para 0<\alpha\le 1.

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