O trabalho que vem a seguir analisará esse limite e decidirá convergência/divergência para os diferentes valores de \alpha>0.
Passo 2
Vamos mudar de variável para transformar o comportamento em x\to0^+ numa integral no infinito, onde é mais fácil testar convergência. Faça a substituição
x=e^{-t}.
Explicando essa mudança: quando x\to0^+ tem-se t\to+\infty; quando x=1 tem-se t=0. A diferencial é
dx=-e^{-t}\,dt.
Também temos \ln x=-t e x^{-\alpha}=e^{\alpha t}. Substituindo na integral (no sentido do limite impróprio) obtemos a expressão equivalente em t.
Passo 3
Substituindo e trocando os limites, com cuidado no sinal:
que converge porque o fator exponencial e^{-\lambda t} força decaimento exponencial para t\to\infty e t cresce apenas linearmente.
Se \alpha=1 então \alpha-1=0 e a integral passa a ser
\int_{0}^{\infty} t\,dt,
que diverge (é óbvio: área infinita).
Se \alpha>1 então \alpha-1>0 e e^{(\alpha-1)t} cresce exponencialmente, portanto t\,e^{(\alpha-1)t} cresce e a integral diverge (área infinita).
Assim a integral converge somente quando \alpha<1.
Passo 5
Para finalizar, quando \alpha<1 podemos até calcular o valor da integral. Com \lambda=1-\alpha>0 temos
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-\lambda t}\,dt.
Calcula-se por partes (ou usando a fórmula da função Gamma). Fazendo por partes: tome u=t e dv=e^{-\lambda t}dt, então du=dt e v=-\dfrac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}. Assim
O termo de fronteira \left.-\dfrac{t}{\lambda}e^{-\lambda t}\right|_{0}^{\infty}=0-0=0 (porque t e^{-\lambda t}\to0 quando t\to\infty e é zero em t=0), e a integral restante é \dfrac{1}{\lambda}\cdot\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{\lambda^{2}}. Portanto