Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x^{\alpha}}, \alpha>0

Passo 1

O enunciado pede que se verifique se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{\alpha}},\qquad \alpha>0,
é convergente ou divergente.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{1}{x^{\alpha}} com parâmetro \alpha>0.
  • O intervalo de integração é [1,\infty), ou seja, é uma integral imprópria por ter limite superior infinito.
    Pergunta explícita: determinar, em função de \alpha, para quais valores a integral converge e para quais diverge.

Passo 2

Definição e estratégia: uma integral imprópria com infinito no limite é definida como limite de integrais em intervalos finitos. Escrevemos
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{\alpha}}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{\alpha}}.
Vou calcular a integral indefinida (primitiva) de x^{-\alpha} e depois tomar o limite quando b\to\infty. Essa é a abordagem padrão: achar a primitiva e estudar o comportamento do termo que depende de b quando b\to\infty.

Passo 3

Cálculo da primitiva para o caso \alpha\neq1. Usamos a regra de potência: para p\neq-1,
\int x^{p}\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C.
Aqui p=-\alpha, logo p+1=1-\alpha. Assim, para \alpha\neq1,
\int x^{-\alpha}\,dx=\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}+C.
A integral definida de 1 até b é então
\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{\alpha}}=\left.\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right|_{1}^{b}=\frac{b^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}.

Passo 4

Análise do limite quando b\to\infty para \alpha\neq1. O comportamento do termo b^{1-\alpha} depende do sinal de 1-\alpha:
  • Se 1-\alpha<0 (ou seja, \alpha>1), então b^{1-\alpha}\to0 quando b\to\infty. Substituindo no resultado acima:
\lim_{b\to\infty}\frac{b^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}=\frac{0-1}{1-\alpha}=\frac{1}{\alpha-1}.
Portanto, para \alpha>1 a integral converge e seu valor é \dfrac{1}{\alpha-1}.

Passo 5

Continuação da análise para 0<\alpha<1. Nesse caso 1-\alpha>0, então b^{1-\alpha}\to\infty quando b\to\infty. Assim
\lim_{b\to\infty}\frac{b^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}=+\infty,
ou seja, a integral diverge (tende a infinito) para 0<\alpha<1.

Passo 6

Caso especial \alpha=1. A integranda é \dfrac{1}{x}. Calculamos diretamente:
\int_{1}^{b}\frac{dx}{x}=\ln b-\ln 1=\ln b.
Tomando b\to\infty obtemos \lim_{b\to\infty}\ln b=+\infty. Portanto a integral diverge para \alpha=1.

Passo 7

Resumo e interpretação didática (regra prática): a família \int_{1}^{\infty} x^{-\alpha}\,dx é o clássico "teste p" (ou integral p) e converge exatamente quando o expoente p=\alpha é maior que 1. Para lembrar: se \alpha>1 a área sob a curva decai rápido o suficiente para ter área finita; se \alpha\le 1 a caida é lenta demais e a área é infinita. Exemplos rápidos:
  • \alpha=2: \int_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{x^{2}}=1 (convergente).
  • \alpha=\tfrac{1}{2}: \int_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{x^{1/2}}=\infty (divergente).
    Mantenha essa regra na cabeça para provas: integral converge iff \alpha>1.

Resposta

\text{Converge para } \alpha>1.
\text{Diverge para } 0<\alpha\le 1.

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