A função integranda é \dfrac{1}{x^{\alpha}} com parâmetro \alpha>0.
O intervalo de integração é [1,\infty), ou seja, é uma integral imprópria por ter limite superior infinito.
Pergunta explícita: determinar, em função de \alpha, para quais valores a integral converge e para quais diverge.
Passo 2
Definição e estratégia: uma integral imprópria com infinito no limite é definida como limite de integrais em intervalos finitos. Escrevemos
Vou calcular a integral indefinida (primitiva) de x^{-\alpha} e depois tomar o limite quando b\to\infty. Essa é a abordagem padrão: achar a primitiva e estudar o comportamento do termo que depende de b quando b\to\infty.
Passo 3
Cálculo da primitiva para o caso \alpha\neq1. Usamos a regra de potência: para p\neq-1,
\int x^{p}\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C.
Aqui p=-\alpha, logo p+1=1-\alpha. Assim, para \alpha\neq1,
ou seja, a integral diverge (tende a infinito) para 0<\alpha<1.
Passo 6
Caso especial \alpha=1. A integranda é \dfrac{1}{x}. Calculamos diretamente:
\int_{1}^{b}\frac{dx}{x}=\ln b-\ln 1=\ln b.
Tomando b\to\infty obtemos \lim_{b\to\infty}\ln b=+\infty. Portanto a integral diverge para \alpha=1.
Passo 7
Resumo e interpretação didática (regra prática): a família \int_{1}^{\infty} x^{-\alpha}\,dx é o clássico "teste p" (ou integral p) e converge exatamente quando o expoente p=\alpha é maior que 1. Para lembrar: se \alpha>1 a área sob a curva decai rápido o suficiente para ter área finita; se \alpha\le 1 a caida é lenta demais e a área é infinita. Exemplos rápidos:
\alpha=\tfrac{1}{2}: \int_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{x^{1/2}}=\infty (divergente).
Mantenha essa regra na cabeça para provas: integral converge iff \alpha>1.
Resposta
\text{Converge para } \alpha>1. \text{Diverge para } 0<\alpha\le 1.