Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[4]{1+x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[4]{1+x}}\,dx
é convergente e, se for, calcular o seu valor. Informações que temos:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[4]{1+x}}=(1+x)^{-1/4}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), logo a integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
  • Em x=0 a função é finita: f(0)=1. Portanto não há singularidade no limite inferior; o único problema possível é o comportamento quando x\to\infty.

Passo 2

Definição prática que vou usar: a integral imprópria sobre [0,\infty) converge se o limite
\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(x)\,dx
existe e é finito. Se esse limite é infinito ou não existe, a integral diverge.
Aqui f(x) é contínua em [0,\infty), logo basta estudar o limite quando R\to\infty de \int_{0}^{R}(1+x)^{-1/4}\,dx.

Passo 3

Vou calcular uma primitiva de f(x)=(1+x)^{-1/4}. Uso a regra da potência para primitiva: se n\neq -1,
\int (1+x)^{n}\,dx=\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{4}, então n+1=\tfrac{3}{4}\neq 0. Assim a primitiva é
\int (1+x)^{-1/4}\,dx=\frac{(1+x)^{3/4}}{3/4}+C=\frac{4}{3}(1+x)^{3/4}+C.
Explicando rápido: derivei (1+x)^{3/4} e obtive \tfrac{3}{4}(1+x)^{-1/4}; para compensar, multipliquei por \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Avalio a integral definida de 0 até R usando a primitiva encontrada:
\int_{0}^{R}(1+x)^{-1/4}\,dx=\left[\frac{4}{3}(1+x)^{3/4}\right]_{0}^{R}=\frac{4}{3}\big((1+R)^{3/4}-1\big).
Agora tomo o limite R\to\infty:
\lim_{R\to\infty}\frac{4}{3}\big((1+R)^{3/4}-1\big)=\frac{4}{3}\lim_{R\to\infty}(1+R)^{3/4}-\frac{4}{3}.
Como \lim_{R\to\infty}(1+R)^{3/4}=+\infty, o limite acima é +\infty. Portanto a integral diverge para +\infty (não é finita).

Passo 5

Dou também um argumento alternativo, útil em provas rápidas: para x\ge 1 tem 1+x\le 2x, logo
(1+x)^{-1/4}\ge (2x)^{-1/4}=2^{-1/4}x^{-1/4}\quad\text{para }x\ge 1.
Sabendo o teste-p: a integral
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{4}\le 1, então \int_{1}^{\infty} x^{-1/4}\,dx diverge. Como nossa função é maior ou igual a uma constante positiva vezes x^{-1/4} para x\ge1, por comparação direta a integral original também diverge. Esse argumento evita calcular a primitiva e é prático na prova.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga): olhar o comportamento para x\to\infty. Como (1+x)^{-1/4}\sim x^{-1/4} e p=\tfrac{1}{4}\le1, a integral sobre [1,\infty) já diverge, então a integral sobre [0,\infty) diverge. Se quiser sempre conferir, calcule a primitiva; aqui ela mostrou que a área cresce como (1+R)^{3/4} quando R\to\infty, portanto vai a +\infty. Força aí — você consegue!

Resposta

A integral diverge; \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{1+x}}\,dx=+\infty

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