Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular o seu valor. Informações que temos:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, logo a integral é imprópria por causa do limite superior infinito. - Em
a função é finita: . Portanto não há singularidade no limite inferior; o único problema possível é o comportamento quando .
Passo 2
Definição prática que vou usar: a integral imprópria sobre
converge se o limite
existe e é finito. Se esse limite é infinito ou não existe, a integral diverge.
Aqui
é contínua em
, logo basta estudar o limite quando
de
.
Passo 3
Vou calcular uma primitiva de
. Uso a regra da potência para primitiva: se
,
Aqui
, então
. Assim a primitiva é
Explicando rápido: derivei
e obtive
; para compensar, multipliquei por
.
Passo 4
Avalio a integral definida de
até
usando a primitiva encontrada:
Agora tomo o limite
:
Como
, o limite acima é
. Portanto a integral diverge para
(não é finita).
Passo 5
Dou também um argumento alternativo, útil em provas rápidas: para
tem
, logo
Sabendo o teste-p: a integral
converge se, e somente se,
. Aqui
, então
diverge. Como nossa função é maior ou igual a uma constante positiva vezes
para
, por comparação direta a integral original também diverge. Esse argumento evita calcular a primitiva e é prático na prova.
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica amiga): olhar o comportamento para
. Como
e
, a integral sobre
já diverge, então a integral sobre
diverge. Se quiser sempre conferir, calcule a primitiva; aqui ela mostrou que a área cresce como
quando
, portanto vai a
. Força aí — você consegue!
Resposta
A integral diverge;