Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{1+x^{2}}\\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^{2}}
é convergente ou divergente. Informações fornecidas e observações iniciais:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • f(x) é contínua para todo x\in\mathbb{R} (não tem singularidades finitas).
  • A única dificuldade é que o intervalo de integração é infinito ( -\infty a +\infty), portanto trata-se de uma integral imprópria por intervalo infinito.
  • Também observe que f(x) é uma função par, ou seja, f(-x)=f(x).

Passo 2

Definição precisa de integral imprópria em intervalo infinito (o que significa “convergir”):
Para avaliar
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx
usa-se a definição em termos de limites de integrais próprias. Uma forma padrão é dividir no ponto 0:
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{A\to-\infty}\int_{A}^{0} f(x)\,dx + \lim_{B\to+\infty}\int_{0}^{B} f(x)\,dx,
e dizemos que a integral imprópria converge se e somente se ambos os limites à direita existirem (finitem) separadamente. Outra forma equivalente, quando f é par, é usar o limite simétrico:
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R} f(x)\,dx,
desde que esse limite exista. Vou usar essas ideias para testar convergência.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}} (a técnica básica aqui é reconhecer uma derivada invertida):
Recorde (ou derive rapidamente): se y=\arctan x então \tan y=x. Diferenciando implicitamente,
\operatorname{sec}^{2}y\;\frac{dy}{dx}=1.
Como \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y=1+x^{2}, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^{2}}.
Logo a primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x. Em notação de integrais:
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan x + C.

Passo 4

Calcular a integral definida entre limites finitos A e B usando a primitiva:
\int_{A}^{B} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan B - \arctan A.
Agora aplicamos a definição por limites para o caso infinito, usando a forma simétrica (válida porque a função é par):
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \lim_{R\to\infty}\bigl(\arctan R - \arctan(-R)\bigr).

Passo 5

Avaliar os limites das funções \arctan x quando x\to\pm\infty:
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2} porque \tan y tende a +\infty quando y\to\frac{\pi}{2}^{-}, então a inversa tende a \frac{\pi}{2}.
  • \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2} por razão análoga.
    Substituindo esses limites na expressão do passo anterior:
\lim_{R\to\infty}\bigl(\arctan R - \arctan(-R)\bigr) = \frac{\pi}{2}-\bigl(-\frac{\pi}{2}\bigr).

Passo 6

Interpretação final do cálculo: a diferença de limites do passo anterior é finita (não explode nem é indefinida), portanto a integral imprópria converge. (Como verificação alternativa rápida: devido à paridade de f, poderia também-se escrever \int_{-\infty}^{\infty} f = 2\int_{0}^{\infty} f e proceder do mesmo jeito.)

Resposta

Convergente; \pi

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