Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações fornecidas e observações iniciais:
- A função integranda é
. -
é contínua para todo (não tem singularidades finitas). - A única dificuldade é que o intervalo de integração é infinito (
a ), portanto trata-se de uma integral imprópria por intervalo infinito. - Também observe que
é uma função par, ou seja, .
Passo 2
Definição precisa de integral imprópria em intervalo infinito (o que significa “convergir”):
Para avaliar
Para avaliar
usa-se a definição em termos de limites de integrais próprias. Uma forma padrão é dividir no ponto
:
e dizemos que a integral imprópria converge se e somente se ambos os limites à direita existirem (finitem) separadamente. Outra forma equivalente, quando
é par, é usar o limite simétrico:
desde que esse limite exista. Vou usar essas ideias para testar convergência.
Passo 3
Encontrar uma primitiva de
(a técnica básica aqui é reconhecer uma derivada invertida):
Recorde (ou derive rapidamente): se então
. Diferenciando implicitamente,
Recorde (ou derive rapidamente): se
Como
, obtemos
Logo a primitiva de
é
. Em notação de integrais:
Passo 4
Calcular a integral definida entre limites finitos
e
usando a primitiva:
Agora aplicamos a definição por limites para o caso infinito, usando a forma simétrica (válida porque a função é par):
Passo 5
Avaliar os limites das funções
quando
:
-
porque tende a quando , então a inversa tende a . -
por razão análoga.
Substituindo esses limites na expressão do passo anterior:
Passo 6
Interpretação final do cálculo: a diferença de limites do passo anterior é finita (não explode nem é indefinida), portanto a integral imprópria converge. (Como verificação alternativa rápida: devido à paridade de
, poderia também-se escrever
e proceder do mesmo jeito.)
Resposta
Convergente;