Verifique se a integral é convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
integral0^infty cos ^10(x^8)x^2+1 d x;

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral0^infty cos^10l(x^8r)x^2+1,dx
O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias em dois pontos críticos: x=0 e xtoinfty. Vamos usar o teste de comparação, observando que 0<=cos^10(x^8)<=1.

Passo 2

Verificação em torno de x=0. Para 0<= x<=1 temos
0<= cos^10(x^8)x^2+1<= 1x^2+1<= 1
Como integral0^11,dx=1<infty e o integrando é limitado, segue que
integral0^1cos^10(x^8)x^2+1,dx
converge (é integral de função contínua num intervalo finito).

Passo 3

Verificação para xtoinfty. Para x>=1
0<= cos^10(x^8)x^2+1<= 1x^2+1
E sabemos que
integral1^infty1x^2+1,dx =l[arctan xr]1^infty =pi2-pi4 =pi4<infty
Pela comparação, também
integral1^inftycos^10(x^8)x^2+1,dx
converge.

Resposta

A integral
integral0^infty cos^10l(x^8r)x^2+1,dx
é convergente.

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