Verifique se a integral é convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias em domínio infinito e testes de convergência (comparação assintótica e, em seguida, cálculo exato por frações parciais).
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador fatora como
logo não há singularidades em
(pois
e
para todo
). Portanto a única fonte potencial de divergência é o comportamento no infinito.
Passo 3
Para testar o comportamento quando
, note que
Como a integral
converge se e somente se
, aqui temos
. Logo, por comparação assintótica, a integral original converge no infinito.
Passo 4
Para reforçar que dá um valor finito, fazemos o cálculo exato por frações parciais:
Então para um limite superior
,
Isso dá
Agora, fazendo
, nota-se que
, logo o termo
.
Passo 5
Portanto o valor da integral imprópria é
um número finito, confirmando a convergência.
Resposta
A integral é convergente (seu valor é
).