Verifique se a integral é convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
integral0^infty d xx^2+5 x+6.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
integral0^inftydxx^2+5x+6
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias em domínio infinito e testes de convergência (comparação assintótica e, em seguida, cálculo exato por frações parciais).

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador fatora como
x^2+5x+6 = (x+2)(x+3),
logo não há singularidades em x>=0 (pois x+2>0 e x+3>0 para todo x>=0). Portanto a única fonte potencial de divergência é o comportamento no infinito.

Passo 3

Para testar o comportamento quando xtoinfty, note que
1x^2+5x+6sim 1x^2 quando xtoinfty
Como a integral
integral^inftydxx^p
converge se e somente se p>1, aqui temos p=2>1. Logo, por comparação assintótica, a integral original converge no infinito.

Passo 4

Para reforçar que dá um valor finito, fazemos o cálculo exato por frações parciais:
1(x+2)(x+3) = 1x+2-1x+3
Então para um limite superior R,
integral0^Rdxx^2+5x+6 =integral0^Rl(1x+2-1x+3r)dx =l[ln(x+2)-ln(x+3)r]0^R
Isso dá
lnR+2R+3-ln23
Agora, fazendo Rtoinfty, nota-se que R+2R+3to1, logo o termo lnR+2R+3to0.

Passo 5

Portanto o valor da integral imprópria é
0 - ln23 =ln32,
um número finito, confirmando a convergência.

Resposta

A integral é convergente (seu valor é ln32).

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