Reescreva as expressões abaixo em função de theta efetuando as substituições trigonométricas sugeridas, considerando 0 <= theta <= pi2 e simplifique:
raizx^2-25x, x=5 sec theta

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
raizx^2-25x
em função de theta, usando a substituição trigonométrica
x = 5 sectheta,
considerando 0 <= theta <= tfracpi2.
Para isso vamos usar a identidade sec^2theta - 1 = tan^2theta e o fato de que, nesse intervalo, tantheta>=0.

Passo 2

Substituindo x=5sectheta em x^2-25:
x^2 = (5sectheta)^2 = 25sec^2theta,
x^2 - 25 = 25sec^2theta - 25 = 25(sec^2theta - 1) = 25tan^2theta
Logo,
raizx^2 - 25 = raiz25tan^2theta = 5,|tantheta| = 5tantheta
pois tantheta>=0 em l[0,tfracpi2r].

Passo 3

Agora calculamos a expressão original:
raizx^2 - 25x = 5tantheta5sectheta = tanthetasectheta
Usando tantheta = sinthetacostheta e sectheta = 1costheta, temos
tanthetasectheta = sinthetacostheta1costheta = sintheta

Resposta

sintheta

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