Verifique se a integral imprópria
integral-1^2 1x^2 cos 1x d x
converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
integral-1^21x^2cos1x,dx
na qual o ponto x=0 é singular (o integrando não está definido em 0). Vamos primeiro identificar um primitivo para 1x^2cos1x e depois analisar separadamente os limites laterais em 0.

Passo 2

Fazemos a substituição clássica u=1x, de modo que
du=-1x^2,dx Longrightarrow 1x^2,dx=-du
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integral 1x^2cos1x,dx =integral cos(u),(-du) =-sin(u)+C =-sin!l(tfrac1xr)+C

Passo 3

Escrevemos a integral como soma de duas integrais impróprias
integral-1^21x^2cos1x,dx =limvarepsilonto0^+l[ integral-1^-varepsilon1x^2cos1x,dx +integralvarepsilon^21x^2cos1x,dx r]
Usando o primitivo -sin(1/x), para cada parte temos:
  1. integral-1^-varepsilon1x^2cos1x,dx =l[-sin(tfrac1x)r]x=-1^x=-varepsilon =-sin!l(-tfrac1varepsilonr)+sin(-1)
  2. integralvarepsilon^21x^2cos1x,dx =l[-sin(tfrac1x)r]x=varepsilon^x=2 =-sin!l(tfrac12r)+sin!l(tfrac1varepsilonr)

Passo 4

Somando as duas expressões obtemos, para cada varepsilon>0,
I(varepsilon) =-sin!l(-tfrac1varepsilonr)+sin(-1) ;-;sin!l(tfrac12r) ;+;sin!l(tfrac1varepsilonr)
Como sin(-a)=-sin(a), isto se reduz a
I(varepsilon) =2sin!l(tfrac1varepsilonr) -sin(1) -sin!l(tfrac12r)
Quando varepsilonto0^+, o termo sin(1/varepsilon) oscila sem limite definido entre -1 e 1.

Passo 5

Como o fator 2sin(1/varepsilon) não tem limite quando varepsilonto0^+, a soma I(varepsilon) também não converge para valor finito. Portanto a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge.

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