7.4A Com auxílio do Método da Série de Taylor, encontre a solução em série de potências de cada PVI dado a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
por meio de série de potências (Método de Taylor). Vamos supor que
e determinar recursivamente os coeficientes
a partir de
.
Passo 2
Escrevemos a derivada e o quadrado de
em forma de série:
E a condição da equação é
Passo 3
Reindexando
por
dá
Comparando coeficientes de
, obtemos a relação de recorrência
Passo 4
Agora calculamos
an em ordem crescente:
- Para
:m=0 1cdot a1 = a0a0 = 1Longrightarrow a1=1 - Para
:m=1 2cdot a2 = a0a1 + a1a0 = 2Longrightarrow a2=1 - Para
:m=2 3cdot a3 = (a0a2 + a1a1 + a2a0) + 1 = (1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot1)+1 = 4 Longrightarrow a3=tfrac43 - Para
:m=3 4cdot a4 = a0a3 + a1a2 + a2a1 + a3a0 = tfrac43+1+1+tfrac43 = tfrac143 Longrightarrow a4=tfrac1412=tfrac76 - Para
:m=4 5cdot a5 = a0a4 + a1a3 + a2a2 + a3a1 + a4a0 = tfrac76+tfrac43+1+tfrac43+tfrac76=6 Longrightarrow a5=tfrac65
Passo 5
Reunindo os primeiros termos da série, a solução é