7.4A Com auxílio do Método da Série de Taylor, encontre a solução em série de potências de cada PVI dado a seguir:
y^prime=x^2+y^2, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y' = x^2 + y^2, y(0)=1
por meio de série de potências (Método de Taylor). Vamos supor que
y(x) = sumn=0^infty an,x^n
e determinar recursivamente os coeficientes an a partir de a0=y(0)=1.

Passo 2

Escrevemos a derivada e o quadrado de y em forma de série:
y'(x) = sumn=1^infty n,an,x^n-1,
y(x)^2 = l(sumn=0^infty an,x^nr)^2 = sumn=0^infty l(sumk=0^nak,a,n-kr)x^n
E a condição da equação é
y'(x)=x^2+y(x)^2

Passo 3

Reindexando y' por m=n-1
summ=0^infty(m+1)am+1,x^m ;=; summ=0^inftyl(sumk=0^mak,am-kr)x^m ;+; x^2
Comparando coeficientes de x^m, obtemos a relação de recorrência
(m+1),am+1 =sumk=0^mak,am-k ;+; 1, & m=2, 0, & mneq2

Passo 4

Agora calculamos an em ordem crescente:
  • Para m=0: 1cdot a1 = a0a0 = 1Longrightarrow a1=1
  • Para m=1: 2cdot a2 = a0a1 + a1a0 = 2Longrightarrow a2=1
  • Para m=2: 3cdot a3 = (a0a2 + a1a1 + a2a0) + 1 = (1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot1)+1 = 4 Longrightarrow a3=tfrac43
  • Para m=3: 4cdot a4 = a0a3 + a1a2 + a2a1 + a3a0 = tfrac43+1+1+tfrac43 = tfrac143 Longrightarrow a4=tfrac1412=tfrac76
  • Para m=4: 5cdot a5 = a0a4 + a1a3 + a2a2 + a3a1 + a4a0 = tfrac76+tfrac43+1+tfrac43+tfrac76=6 Longrightarrow a5=tfrac65

Passo 5

Reunindo os primeiros termos da série, a solução é
y(x)=a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + a5x^5 + cdots =1 + x + x^2 + tfrac43x^3 + tfrac76x^4 + tfrac65x^5 + cdots

Resposta

y(x)=1 + x + x^2 + 43x^3 + 76x^4 + 65x^5 + cdots

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