Para quais valores de
a integral imprópria
converge? Calcule a integral para esse valor de
.
Passo 1
O enunciado pede para quais valores de
a integral imprópria
converge, e em seguida calcular esse valor quando a convergência ocorre. O conteúdo principal é análise de convergência de integrais impróprias no infinito, usando o comportamento assintótico dos termos
.
Passo 2
Analisamos o termo geral para
. Note que
logo o integrando se comporta como
Como
diverge, para que nosso integral convirja é preciso que o coeficiente de
seja zero, isto é
Passo 3
Verificamos que em
não há singularidade:
é um número finito para todo
. Logo a única condição de convergência vem do comportamento no infinito, e já obtemos
.
Passo 4
Para
calculamos
Uma primitiva é
A integral de
a
vale
Quando
,
, então resta
Resposta
A integral converge apenas para
, e nesse caso vale