Para quais valores de n a integral imprópria
integral0^infty(2x+1-nx+3) d x
converge? Calcule a integral para esse valor de n.

Passo 1

O enunciado pede para quais valores de n a integral imprópria
integral0^inftyl(2x+1-nx+3r),dx
converge, e em seguida calcular esse valor quando a convergência ocorre. O conteúdo principal é análise de convergência de integrais impróprias no infinito, usando o comportamento assintótico dos termos tfrac1x+a.

Passo 2

Analisamos o termo geral para xtoinfty. Note que
2x+1=2xl(1+O(tfrac1x)r), nx+3=nxl(1+O(tfrac1x)r),
logo o integrando se comporta como
2x+1-nx+3sim2-nx (xtoinfty)
Como integral^inftydxx diverge, para que nosso integral convirja é preciso que o coeficiente de 1/x seja zero, isto é
2-n=0 ;;Longrightarrow;; n=2

Passo 3

Verificamos que em x=0 não há singularidade:
20+1-n0+3
é um número finito para todo n. Logo a única condição de convergência vem do comportamento no infinito, e já obtemos n=2.

Passo 4

Para n=2 calculamos
integral0^inftyl(2x+1-2x+3r),dx =2integral0^inftyl(1x+1-1x+3r),dx
Uma primitiva é
2l[ln(x+1)-ln(x+3)r]
A integral de 0 a R vale
2l(ln(R+1)-ln(R+3)r) -2l(ln1-ln3r)
Quando Rtoinfty, ln(R+1)-ln(R+3)to0, então resta
-2l(0-ln3r)=2ln3

Resposta

A integral converge apenas para n=2, e nesse caso vale
2ln3

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