Verifique que
integral x^27+x^6 d x=raiz721 Arctg(x^3raiz7)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a integral integral x^27+x^6,dx é igual a raiz721,Arctgl(x^3raiz7r)+C. O conteúdo principal é integração por substituição e o uso da fórmula integraldua^2+u^2=1aArctgl(uar)+C.

Passo 2

Escolhemos a substituição u=x^3. Assim, derivando temos u=x^3 implies du=3x^2,dx implies x^2,dx=du3.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral x^27+x^6,dx=integral 17+u^2cdotdu3=13integral du7+u^2.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integral de 1/(a^2+u^2) com a=raiz7:
$$\frac{1}{3}\int \frac{du}{7+u^{2}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{7}}\operatorname{Arctg}\Bigl(\frac{u}{\sqrt{7}}\Bigr)+C=\frac{1}{3\sqrt{7}}\operatorname{Arctg}\Bigl(\frac{u}{\sqrt{7}}\Bigr)+C
$$.

Passo 5

Voltando à variável original x, como u=x^3, obtemos
13raiz7Arctgl(x^3raiz7r)+C=raiz721Arctgl(x^3raiz7r)+C

Resposta

raiz721,Arctgl(x^3raiz7r)+C

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