Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
.
Qual das funções anteriores é a transformada de Laplace inversa de
?
Qual das funções anteriores é a transformada de Laplace inversa de
Passo 1
Neste exercício vamos calcular a transformada de Laplace da função f₃(t) = t e, em seguida, descobrir qual das funções anteriores é a transformada inversa de 1/s². O conteúdo envolve definição de transformada de Laplace e técnicas de integração.
Passo 2
A definição de transformada de Laplace é
Aqui vamos aplicá-la em f₃(t) = t.
Passo 3
Para calcular
usamos integração por partes. Tomamos
$$
u = t, \quad dv = e^{-st},dt,
du = dt, \quad v = -\frac{1}{s}e^{-st}.
Avaliar os limites: quando t→∞,
tende a zero (pois o decaimento exponencial domina o termo linear) e em t=0 o termo é zero. Então resta
Portanto concluímos que
Passo 4
Como a transformada de Laplace de t é exatamente 1/s², a transformada inversa de 1/s² é f₃(t) = t.