Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f3(t)=t.
Qual das funções anteriores é a transformada de Laplace inversa de 1 / s^2 ?

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a transformada de Laplace da função f₃(t) = t e, em seguida, descobrir qual das funções anteriores é a transformada inversa de 1/s². O conteúdo envolve definição de transformada de Laplace e técnicas de integração.

Passo 2

A definição de transformada de Laplace é
Lf(t)(s) = integral0^infty f(t),e^-st,dt
Aqui vamos aplicá-la em f₃(t) = t.

Passo 3

Para calcular Lt(s) usamos integração por partes. Tomamos
$$
u = t, \quad dv = e^{-st},dt, u = t, dv = e^-st,dt,
du = dt, \quad v = -\frac{1}{s}e^{-st}.
du = dt, v = -1se^-st ãçã\int_{0}^{\infty} t,e^{-st},dt = \left. -\frac{t}{s}e^{-st} \right|{0}^{\infty} + \int{0}^{\infty} \frac{1}{s}e^{-st},dt.$$
Avaliar os limites: quando t→∞, integral0^infty t,e^-st,dt = -tse^-st |0^infty + integral0^infty 1se^-st,dt tende a zero (pois o decaimento exponencial domina o termo linear) e em t=0 o termo é zero. Então resta
te^-st
Portanto concluímos que
integral0^infty 1se^-st,dt = 1s integral0^infty e^-st,dt = 1s [-1se^-st]0^infty = 1s^2

Passo 4

Como a transformada de Laplace de t é exatamente 1/s², a transformada inversa de 1/s² é f₃(t) = t.

Resposta

Lt(s) = 1/s^2 e a transformada de Laplace inversa de 1/s^2 é t, ou seja, f₃(t).

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