Calcule a integral iterada.
integral0^pi / 2 integral0^cos theta integral0^r^2 r sen theta d z d r d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^pi/2integral0^costhetaintegral0^r^2rsintheta,dz,dr,dtheta
O conteúdo é integração múltipla por integração iterada: vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para cada variável na ordem z, depois r e por fim theta.

Passo 2

Integramos em z de 0 até r^2. Como rsintheta é constante em z,
integral0^r^2rsintheta,dz = rsintheta;l[zr]0^r^2 = rsinthetacdot r^2 = r^3sintheta

Passo 3

Agora integramos em r de 0 até costheta:
integral0^costhetar^3sintheta,dr = sintheta;integral0^costhetar^3dr = sintheta;(costheta)^44 = cos^4theta4,sintheta

Passo 4

Falta integrar em theta de 0 a pi/2:
I = integral0^pi/2cos^4theta4,sintheta,dtheta = 14integral0^pi/2cos^4theta,sintheta,dtheta
Fazemos a substituição u=costheta, du=-sintheta,dtheta. Quando theta=0, u=1; quando theta=pi/2, u=0. Assim,
integral0^pi/2cos^4theta,sintheta,dtheta = -integral1^0u^4du = integral0^1u^4du = 15
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I = 14cdot15 = 120

Resposta

120

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