Seja (
) uma sucessão de números reais tais que
e
. Mostre que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)
]
diverge, enquanto a série
converge.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)
]
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência de reais
tal que
para todo
e
. Pedem para mostrar que a série
é divergente, enquanto a série
é convergente. O conteúdo aqui é o uso de somas telescópicas e o comportamento de
em infinito.
Passo 2
Considere a soma parcial da primeira série até
:
Por telescopagem, todos os termos intermediários cancelam, sobrando
Como
, segue
. Logo, a série não tem soma finita, ou seja, diverge.
Passo 3
Agora veja a soma parcial da segunda série até
:
Também por telescopagem, obtemos
Como
, temos
e portanto
Isso mostra que a soma das parciais converge para
, logo a série é convergente.
Resposta
A série
diverge e a série
converge (para
).