Seja ( an ) uma sucessão de números reais tais que an neq 0, forall n e an infty. Mostre que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)
]
diverge, enquanto a série
sumn=1^infty(1an-1an+1)
converge.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência de reais (an) tal que anneq0 para todo n e limntoinftyan=+infty. Pedem para mostrar que a série
sumn=1^inftyl(an+1-anr)
é divergente, enquanto a série
sumn=1^inftyl(tfrac1an-tfrac1an+1r)
é convergente. O conteúdo aqui é o uso de somas telescópicas e o comportamento de an em infinito.

Passo 2

Considere a soma parcial da primeira série até N:
SN = sumn=1^Nl(an+1-anr)
Por telescopagem, todos os termos intermediários cancelam, sobrando
SN = aN+1 - a1
Como limNtoinftyaN+1=+infty, segue limNtoinftySN=+infty. Logo, a série não tem soma finita, ou seja, diverge.

Passo 3

Agora veja a soma parcial da segunda série até N:
TN = sumn=1^Nl(tfrac1an-tfrac1an+1r)
Também por telescopagem, obtemos
TN = 1a1 - 1aN+1
Como aN+1to+infty, temos tfrac1aN+1to0 e portanto
limNtoinftyTN = 1a1
Isso mostra que a soma das parciais converge para tfrac1a1, logo a série é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(an+1-an) diverge e a série sumn=1^inftyl(tfrac1an-tfrac1an+1r) converge (para tfrac1a1).

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