Existe alguma reta paralela a r=(0,1,1)+t(1,-1,-1), t in R, contida no plano pi: x-2 y+3 z-1=0 ? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:,(0,1,1)+t,(1,-1,-1), tinR,
cujo vetor diretor é v=(1,-1,-1), e o plano
pi:;x-2y+3z-1=0
de equação com vetor normal n=(1,-2,3).
Para que exista uma reta paralela a r contida em pi, precisamos de duas condições:
  1. O vetor diretor v deve ser paralelo ao plano pi, ou seja, vperpn.
  2. Escolher um ponto P que satisfaça a equação de pi e usar v como direção da nova reta.

Passo 2

Calculamos o produto escalar entre v e n:
vcdotn = (1)cdot(1)+(-1)cdot(-2)+(-1)cdot(3) =1+2-3=0

Passo 3

Como vcdotn=0, concluímos que v é ortogonal a n, logo v é paralelo ao plano pi.

Passo 4

Escolhemos um ponto P em pi. Por exemplo, faça y=0 e z=0 na equação de pi:
x-2cdot0+3cdot0-1=0Longrightarrow x=1
Então P=(1,0,0) pertence a pi.

Passo 5

A reta que passa por P e tem direção v é
m:;(1,0,0)+t,(1,-1,-1), tinR
Ela é paralela a r (mesmo vetor diretor) e está totalmente contida em pi.

Resposta

Sim. Por exemplo,
m:;(1,0,0)+t,(1,-1,-1), tinR
é uma reta paralela a r e contida no plano pi, já que seu vetor diretor é ortogonal ao normal de pi e seu ponto inicial satisfaz a equação de pi.

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