Calcule
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu calcule a derivada de ordem quatro, isto é
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio com dois termos:
e . - A tarefa é aplicar derivação repetida até a quarta derivada.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (explicação didática e passo a passo):
- Regra da constante multiplicativa: a derivada de
é , onde é constante. - Regra da potência (power rule): a derivada de
é . Aqui é um número inteiro positivo e é a variável. - Para derivadas sucessivas de
(com constante e inteiro ≥ 0) aplica-se a potência repetidamente; depois de derivações o coeficiente fica
e o expoente em
fica
(se
; se
o resultado é constante; se
torna-se zero).
Exemplo rápido e concreto: para
,
- 1ª derivada:
; - 2ª derivada:
; - 3ª derivada:
; - 4ª derivada:
.
Isso ajuda a ver como os fatores multiplicativos aparecem.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
. Aplico a regra termo a termo:
Para
:
Para
:
Portanto
Passo 4
Calcular a segunda derivada
. Derivo cada termo de
:
Para
:
Para
:
Portanto
Passo 5
Calcular a terceira derivada
. Derivo cada termo de
:
Para
:
Para
:
Portanto
Passo 6
Calcular a quarta derivada
. Derivo cada termo de
:
Para
:
Para
:
Então a quarta derivada é
Passo 7
Verificação rápida usando a fórmula de derivada sucessiva de monômios:
- Para o termo
, após quatro derivações o coeficiente é e o expoente fica , gerando . - Para o termo
, após quatro derivações o coeficiente é e o expoente fica , gerando a constante .
Ambas as contas coincidem com o resultado obtido no Passo 6, então está tudo conferido.