Calcule f^{(4)}(x) das seguintes funções:
f(x)=7 x^{5}-4 x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=7 x^{5}-4 x^{4} e pede que eu calcule a derivada de ordem quatro, isto é f^{(4)}(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio com dois termos: 7 x^{5} e -4 x^{4}.
  • A tarefa é aplicar derivação repetida até a quarta derivada.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicação didática e passo a passo):
  • Regra da constante multiplicativa: a derivada de c\cdot g(x) é c\cdot g'(x), onde c é constante.
  • Regra da potência (power rule): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Aqui n é um número inteiro positivo e x é a variável.
  • Para derivadas sucessivas de \,a x^{m}\, (com a constante e m inteiro ≥ 0) aplica-se a potência repetidamente; depois de k derivações o coeficiente fica
a\cdot m (m-1)(m-2)\cdots (m-k+1)
e o expoente em x fica m-k (se m-k\ge 0; se m-k=0 o resultado é constante; se m-k<0 torna-se zero).
Exemplo rápido e concreto: para x^{5},
  • 1ª derivada: 5 x^{4};
  • 2ª derivada: 5\cdot4 x^{3}=20 x^{3};
  • 3ª derivada: 5\cdot4\cdot3 x^{2}=60 x^{2};
  • 4ª derivada: 5\cdot4\cdot3\cdot2 x^{1}=120 x.
Isso ajuda a ver como os fatores multiplicativos aparecem.

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x). Aplico a regra termo a termo:
Para 7 x^{5}:
\frac{d}{dx}\bigl(7 x^{5}\bigr)=7\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=7\cdot 5 x^{4}=35 x^{4}.
Para -4 x^{4}:
\frac{d}{dx}\bigl(-4 x^{4}\bigr)=-4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=-4\cdot 4 x^{3}=-16 x^{3}.
Portanto
f'(x)=35 x^{4}-16 x^{3}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada f''(x)=\bigl(f'(x)\bigr)'. Derivo cada termo de f'(x):
Para 35 x^{4}:
\frac{d}{dx}\bigl(35 x^{4}\bigr)=35\cdot 4 x^{3}=140 x^{3}.
Para -16 x^{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(-16 x^{3}\bigr)=-16\cdot 3 x^{2}=-48 x^{2}.
Portanto
f''(x)=140 x^{3}-48 x^{2}.

Passo 5

Calcular a terceira derivada f^{(3)}(x)=\bigl(f''(x)\bigr)'. Derivo cada termo de f''(x):
Para 140 x^{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(140 x^{3}\bigr)=140\cdot 3 x^{2}=420 x^{2}.
Para -48 x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(-48 x^{2}\bigr)=-48\cdot 2 x=-96 x.
Portanto
f^{(3)}(x)=420 x^{2}-96 x.

Passo 6

Calcular a quarta derivada f^{(4)}(x)=\bigl(f^{(3)}(x)\bigr)'. Derivo cada termo de f^{(3)}(x):
Para 420 x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(420 x^{2}\bigr)=420\cdot 2 x=840 x.
Para -96 x:
\frac{d}{dx}\bigl(-96 x\bigr)=-96.
Então a quarta derivada é
f^{(4)}(x)=840 x-96.

Passo 7

Verificação rápida usando a fórmula de derivada sucessiva de monômios:
  • Para o termo 7 x^{5}, após quatro derivações o coeficiente é 7\cdot 5\cdot4\cdot3\cdot2=7\cdot 120=840 e o expoente fica 5-4=1, gerando 840 x.
  • Para o termo -4 x^{4}, após quatro derivações o coeficiente é -4\cdot 4\cdot3\cdot2\cdot1=-4\cdot 24=-96 e o expoente fica 4-4=0, gerando a constante -96.
Ambas as contas coincidem com o resultado obtido no Passo 6, então está tudo conferido.

Resposta

f^{(4)}(x)=840 x-96

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