Verifique os intervalos onde as derivadas de segunda ordem das seguintes funções são positivas e negativas.
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e pede para verificar em quais intervalos a derivada de segunda ordem é positiva e em quais é negativa.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Precisa-se determinar os intervalos de
onde e onde .
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar como calcular derivadas de polinômios (regra do poder). Para um termo da forma
:
Constantes têm derivada zero:
. Vou aplicar isso termo a termo para obter
.
Passo 3
Calculemos a primeira derivada
aplicando a regra do poder em cada termo de
:
Somando os termos:
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada
derivando
novamente, termo a termo:
Portanto
Passo 5
Para encontrar onde
muda de sinal, resolvemos a equação
:
Isolando
:
Passo 6
Como
é uma função afim (linear) com coeficiente angular
, seu sinal é negativo à esquerda da raiz e positivo à direita. Podemos também resolver as desigualdades explicitamente.
Para
:
Passo 7
Para
:
Passo 8
Interpretação (útil na prova): onde
a curva é côncava para cima (sorriso); onde
é côncava para baixo (careta). O ponto
é um ponto de inflexão (a concavidade troca de sinal).