Verifique os intervalos onde as derivadas de segunda ordem das seguintes funções são positivas e negativas.
f(x)=4 x^{3}-10 x^{2}+3 x-7

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial f(x)=4 x^{3}-10 x^{2}+3 x-7 e pede para verificar em quais intervalos a derivada de segunda ordem é positiva e em quais é negativa.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=4 x^{3}-10 x^{2}+3 x-7.
  • Precisa-se determinar os intervalos de x onde f''(x)>0 e onde f''(x)<0.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar como calcular derivadas de polinômios (regra do poder). Para um termo da forma a x^{n}:
\text{o derivada é } \frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1}.é
Constantes têm derivada zero: \dfrac{d}{dx}\text{(c)}=0. Vou aplicar isso termo a termo para obter f'(x).

Passo 3

Calculemos a primeira derivada f'(x) aplicando a regra do poder em cada termo de f:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr)=4\cdot 3 x^{2}=12x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(-10x^{2}\bigr)=-10\cdot 2 x=-20x,
\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)=3,
\frac{d}{dx}\bigl(-7\bigr)=0.
Somando os termos:
f'(x)=12x^{2}-20x+3.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada f''(x) derivando f'(x) novamente, termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(12x^{2}\bigr)=12\cdot 2 x=24x,
\frac{d}{dx}\bigl(-20x\bigr)=-20,
\frac{d}{dx}\bigl(3\bigr)=0.
Portanto
f''(x)=24x-20.

Passo 5

Para encontrar onde f''(x) muda de sinal, resolvemos a equação f''(x)=0:
24x-20=0.
Isolando x:
24x=20 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{20}{24}=\dfrac{5}{6}.

Passo 6

Como f''(x) é uma função afim (linear) com coeficiente angular 24>0, seu sinal é negativo à esquerda da raiz e positivo à direita. Podemos também resolver as desigualdades explicitamente.
Para f''(x)>0:
24x-20>0 \quad\Rightarrow\quad 24x>20 \quad\Rightarrow\quad x>\dfrac{20}{24}=\dfrac{5}{6}.

Passo 7

Para f''(x)<0:
24x-20<0 \quad\Rightarrow\quad 24x<20 \quad\Rightarrow\quad x<\dfrac{20}{24}=\dfrac{5}{6}.

Passo 8

Interpretação (útil na prova): onde f''(x)>0 a curva é côncava para cima (sorriso); onde f''(x)<0 é côncava para baixo (careta). O ponto x=\dfrac{5}{6} é um ponto de inflexão (a concavidade troca de sinal).

Resposta

f''(x)>0 para x>\dfrac{5}{6}
f''(x)<0 para x<\dfrac{5}{6}

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