Calcule
das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de ordem 4, isto é
, da função dada.
Informações fornecidas:
- A função é
.
Nenhuma outra informação foi dada. Vamos transformar a raiz em potência e derivar quatro vezes, com calma e explicando cada regra usada.
Passo 2
Primeiro reescrevo a função usando potência (isso facilita aplicar a regra da potência e a regra da cadeia):
Aqui usei que
.
Passo 3
Relembrando a regra que vamos usar várias vezes (em linguagem simples):
- Regra da potência (para uma função composta): se
, então
- Regra da cadeia: ao derivar uma função composta
multiplica-se pela derivada de , que aqui aparece como no produto acima.
No caso de
temos
. Cada derivada aplica essas regras repetidamente, e isso produz fatores do tipo
(produto de termos decrescentes) e potências decrescentes de
.
Passo 4
Calculo da primeira derivada passo a passo:
Faço as contas dos coeficientes:
Portanto
Passo 5
Segunda derivada: aplico de novo a regra da potência + cadeia à expressão obtida.
Calculo os coeficientes passo a passo:
Logo
Passo 6
Terceira derivada: novamente regra da potência + cadeia sobre
:
Calculo os coeficientes:
Então
Passo 7
Quarta derivada: aplico a mesma regra sobre
:
Faço as contas dos coeficientes em passos:
Portanto
Passo 8
Breve verificação por padrão: para
espera-se um coeficiente obtido pela fórmula geral
que para
dá exatamente
, confirmando o cálculo passo a passo acima.