Calcule f^{(4)}(x) das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{3-4 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de ordem 4, isto é f^{(4)}(x), da função dada.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\sqrt{3-4 x}.
Nenhuma outra informação foi dada. Vamos transformar a raiz em potência e derivar quatro vezes, com calma e explicando cada regra usada.

Passo 2

Primeiro reescrevo a função usando potência (isso facilita aplicar a regra da potência e a regra da cadeia):
f(x)=(3-4x)^{1/2}.
Aqui usei que \sqrt{\cdot}=(\cdot)^{1/2}.

Passo 3

Relembrando a regra que vamos usar várias vezes (em linguagem simples):
  • Regra da potência (para uma função composta): se g(x)=u(x)^m, então
g'(x)=m\,u(x)^{m-1}\cdot u'(x).
  • Regra da cadeia: ao derivar uma função composta u(v(x)) multiplica-se pela derivada de v(x), que aqui aparece como u'(x) no produto acima.
No caso de u(x)=3-4x temos u'(x)=-4. Cada derivada aplica essas regras repetidamente, e isso produz fatores do tipo m(m-1)(m-2)\cdots (produto de termos decrescentes) e potências decrescentes de u(x).

Passo 4

Calculo da primeira derivada passo a passo:
f'(x)=\frac{1}{2}(3-4x)^{-1/2}\cdot(-4).
Faço as contas dos coeficientes:
\frac{1}{2}\cdot(-4)=-2.
Portanto
f'(x)=-2(3-4x)^{-1/2}.

Passo 5

Segunda derivada: aplico de novo a regra da potência + cadeia à expressão obtida.
f''(x)=-2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(3-4x)^{-3/2}\cdot(-4).
Calculo os coeficientes passo a passo:
-2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=1, \qquad 1\cdot(-4)=-4.
Logo
f''(x)=-4(3-4x)^{-3/2}.

Passo 6

Terceira derivada: novamente regra da potência + cadeia sobre f''(x):
f^{(3)}(x)=-4\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)(3-4x)^{-5/2}\cdot(-4).
Calculo os coeficientes:
-4\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)=6, \qquad 6\cdot(-4)=-24.
Então
f^{(3)}(x)=-24(3-4x)^{-5/2}.

Passo 7

Quarta derivada: aplico a mesma regra sobre f^{(3)}(x):
f^{(4)}(x)=-24\cdot\left(-\tfrac{5}{2}\right)(3-4x)^{-7/2}\cdot(-4).
Faço as contas dos coeficientes em passos:
-24\cdot\left(-\tfrac{5}{2}\right)=60, \qquad 60\cdot(-4)=-240.
Portanto
f^{(4)}(x)=-240(3-4x)^{-7/2}.

Passo 8

Breve verificação por padrão: para f(x)=(3-4x)^{1/2} espera-se um coeficiente obtido pela fórmula geral
f^{(n)}(x)=(-4)^{n}\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}-1\right)\cdots\left(\tfrac{1}{2}-n+1\right)(3-4x)^{1/2-n},
que para n=4 dá exatamente -240(3-4x)^{-7/2}, confirmando o cálculo passo a passo acima.

Resposta

f^{(4)}(x)=-240(3-4x)^{-7/2}

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