7- Na Bahia, uma família paga em média R \ 32,79 por mês pelo serviço de internet. Selecionou-se uma amostra aleatória de 50 famílias de Cruz das Almas, e a média amostral foi deêçóíéR $30,63 por mês. Sabe-se que o desvio-padrão populacional é deêãéR $ 5,60 . Deseja-se saber se nesta cidade, a quantidade média paga pelo serviço de internet é menor que a média da Bahia. Considere o nível de significância deéçééíâ1 %$.

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipóteses para a média de uma população com desvio-padrão conhecido; aqui \sigma=5,60. A média populacional na Bahia é \mu_{0} = 32,79. Selecionou-se uma amostra de n = 50 famílias de Cruz das Almas, cuja média amostral foi \bar{x} = 30,63. Queremos, ao nível de significância \alpha = 0,01, verificar se a média em Cruz das Almas é menor que a média da Bahia.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0: \mu = 32,79
H_1: \mu < 32,79
Como o desvio-padrão populacional é conhecido, usamos o teste Z com estatística
Z \;=\;\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}.

Passo 3

Calculamos o erro padrão e o valor observado de Z:
\sigma/\sqrt{n} = \frac{5,60}{\sqrt{50}}\approx 0,79,
Z_{\text{obs}} = \frac{30,63 - 32,79}{0,79}\approx -2,73.

Passo 4

Para \alpha = 0,01 em um teste unilateral à esquerda, o valor crítico é
Z_{c} = -z_{1-\alpha}\approx -2,33.

Passo 5

Como
Z_{\text{obs}} = -2,73 < -2,33 = Z_{c},
rejeitamos H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 1\%, concluindo que há evidências de que a média paga em Cruz das Almas é menor que R\$ 32,79.

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