Determine um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do \mathbb{R}^{3} :
\{(x, y, z) \mid x+y=0 e x-2 y=0\}

Passo 1

O enunciado nos dá um subespaço de \mathbb{R}^3\) definido pelas equações lineares \[\begin{cases} x+y=0,\\\ x-2y=0. \end{cases}
Queremos encontrar um sistema de geradores, ou seja, vetores cujas combinações lineares formam exatamente esse subespaço. Para isso, vamos resolver o sistema e expressar ((x,y,z)] em função de parâmetros livres.

Passo 2

Das equações
x+y=0 \quad\text{e}\quad x-2y=0
vemos que da primeira x=-y. Substituindo na segunda:
(-y)-2y=-3y=0 \;\Longrightarrow\; y=0 \;\Longrightarrow\; x=0.

Passo 3

Como x=0 e y=0 obrigatoriamente, o vetor genérico do subespaço é
(x,y,z)=(0,0,z),
onde z\in\mathbb{R} é um parâmetro livre. Em outras palavras,
(0,0,z)=z\,(0,0,1).

Resposta

Um sistema de geradores é \{(0,0,1)\}.

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