Verifique se os seguintes subconjuntos abaixo são subespaços de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Em caso afirmativo determine seus geradores.
W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{R}\right. e \left.b=c+1\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid b = c+1\right\}
é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Para isso usaremos a definição de subespaço vetorial: deve conter a matriz zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 2

Testamos a matriz zero
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui b=0 e c=0, mas a condição de W exige b = c + 1, ou seja 0 = 0 + 1, o que é falso. Logo, 0\notin W.]

Passo 3

Como um subespaço vetorial deve conter o vetor (ou matriz) zero e W não o contém, concluímos que W não satisfaz a definição de subespaço. Não precisa verificar fechamento em soma ou escalar.

Resposta

W não é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Exercícios relacionados