Verifique se os limites abaixo existem:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o limite
existe. Dados do problema: a função é
e o ponto de interesse é
. A pergunta é única: determinar se o limite quando
tende a
existe (e se sim, qual é o valor).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): em duas variáveis, dizer que
significa que para qualquer jeito que a variável
se aproxime de
(por qualquer trajetória), os valores de
devem aproximar-se do mesmo número
. Uma maneira prática e muito usada para provar que o limite NÃO existe é o teste por trajetórias: se eu encontro duas trajetórias que chegam a
e dão limites diferentes, então o limite total não existe. Explico passo a passo porque esse teste é válido: existência implica unicidade do limite ao longo de qualquer sequência/trajectória; logo duas trajetórias com limites distintos contradizem a existência.
Passo 3
Observação heurística que motiva a escolha das trajetórias: o denominador tem termos
e
. Para equilibrar esses termos ao aproximarmos ao origem, faz sentido escolher trajetórias onde
escala como
, isto é:
com
constante real. Essa escolha deixa
e
na mesma ordem de grandeza (ambos
), o que frequentemente revela dependência em parâmetros que mostra variação do limite.
Passo 4
Vamos calcular o limite ao longo da trajetória
. Substituindo
em
:
Agora simplificamos termos iguais:
Fatorando
no denominador:
Passo 5
Cancelamos
(válido para
, e o limite considera
, então isso é legítimo para a avaliação do limite):
Agora tomamos o limite quando
. Usamos que a função exponencial é contínua e
quando
. Portanto
Conclusão: o limite ao longo da trajetória
existe e é
, que depende do parâmetro
.
Passo 6
Agora exibimos duas escolhas de
que dão limites diferentes — isso mostrará que o limite total não existe. Tomemos:
-
(trajetória ). Substituindo em obtemos
-
(trajetória ). Substituindo em obtemos
Como
, as duas trajetórias que tendem a
produzem limites diferentes.
Passo 7
Conclusão lógica (didática): se o limite de
quando
existisse, então qualquer trajetória que vá para
daria o mesmo valor. Encontramos duas trajetórias com limites distintos (
e
), portanto o limite não pode existir. Esse tipo de contraprova por dependência de trajetória é suficiente para afirmar que o limite total não existe.
Resposta
O limite não existe.