Verifique se os limites abaixo existem:
(1,00) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y e^{y}}{x^{4}+4 y^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y e^{y}}{x^{4}+4y^{2}}
existe. Dados do problema: a função é
f(x,y)=\frac{x^{2}y e^{y}}{x^{4}+4y^{2}},
e o ponto de interesse é (0,0). A pergunta é única: determinar se o limite quando (x,y) tende a (0,0) existe (e se sim, qual é o valor).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): em duas variáveis, dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
significa que para qualquer jeito que a variável (x,y) se aproxime de (0,0) (por qualquer trajetória), os valores de f(x,y) devem aproximar-se do mesmo número L. Uma maneira prática e muito usada para provar que o limite NÃO existe é o teste por trajetórias: se eu encontro duas trajetórias que chegam a (0,0) e dão limites diferentes, então o limite total não existe. Explico passo a passo porque esse teste é válido: existência implica unicidade do limite ao longo de qualquer sequência/trajectória; logo duas trajetórias com limites distintos contradizem a existência.

Passo 3

Observação heurística que motiva a escolha das trajetórias: o denominador tem termos x^{4} e 4y^{2}. Para equilibrar esses termos ao aproximarmos ao origem, faz sentido escolher trajetórias onde y escala como x^{2}, isto é:
y=m x^{2},
com m constante real. Essa escolha deixa x^{4} e y^{2} na mesma ordem de grandeza (ambos \sim x^{4}), o que frequentemente revela dependência em parâmetros que mostra variação do limite.

Passo 4

Vamos calcular o limite ao longo da trajetória y=m x^{2}. Substituindo y=m x^{2} em f:
f(x,mx^{2})=\frac{x^{2}\cdot (m x^{2})\; e^{m x^{2}}}{x^{4}+4(m x^{2})^{2}}.
Agora simplificamos termos iguais:
f(x,mx^{2})=\frac{m x^{4} e^{m x^{2}}}{x^{4}+4m^{2}x^{4}}.
Fatorando x^{4} no denominador:
f(x,mx^{2})=\frac{m x^{4} e^{m x^{2}}}{x^{4}\bigl(1+4m^{2}\bigr)}.

Passo 5

Cancelamos x^{4} (válido para x\neq0, e o limite considera x\to0, então isso é legítimo para a avaliação do limite):
f(x,mx^{2})=\frac{m e^{m x^{2}}}{1+4m^{2}}.
Agora tomamos o limite quando x\to0. Usamos que a função exponencial é contínua e e^{m x^{2}}\to e^{0}=1 quando x\to0. Portanto
\lim_{x\to0} f(x,mx^{2})=\frac{m\cdot 1}{1+4m^{2}}=\frac{m}{1+4m^{2}}.
Conclusão: o limite ao longo da trajetória y=m x^{2} existe e é \dfrac{m}{1+4m^{2}}, que depende do parâmetro m.

Passo 6

Agora exibimos duas escolhas de m que dão limites diferentes — isso mostrará que o limite total não existe. Tomemos:
  • m=0 (trajetória y=0). Substituindo em \dfrac{m}{1+4m^{2}} obtemos
\frac{0}{1+0}=0.
  • m=1 (trajetória y=x^{2}). Substituindo em \dfrac{m}{1+4m^{2}} obtemos
\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}.
Como 0\neq \dfrac{1}{5}, as duas trajetórias que tendem a (0,0) produzem limites diferentes.

Passo 7

Conclusão lógica (didática): se o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existisse, então qualquer trajetória que vá para (0,0) daria o mesmo valor. Encontramos duas trajetórias com limites distintos ( 0 e \tfrac{1}{5}), portanto o limite não pode existir. Esse tipo de contraprova por dependência de trajetória é suficiente para afirmar que o limite total não existe.

Resposta

O limite não existe.

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