Verifique se os limites abaixo existem, Em caso afirmativo, encontre o limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\cos ^{2}(x)-\cos ^{2}(y)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite abaixo existe quando (x,y) tende a (0,0) e, se existir, encontrar o valor:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\cos^{2}(x)-\cos^{2}(y)}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{numerador} = x^{2}+y^{2}, \qquad \text{denominador} = \cos^{2}(x)-\cos^{2}(y).
A tarefa é decidir se o limite existe (como número finito) e, em caso afirmativo, calcular esse número.

Passo 2

Primeiro vou transformar o denominador em uma forma que deixe claro o comportamento para (x,y) próximos de (0,0). Vou usar identidades trigonométricas elementares para escrever \cos^{2}(x)-\cos^{2}(y) de forma mais manejável. Essa transformação normalmente ajuda a ver fatores que tendem a zero e permite usar aproximações para ângulos pequenos (a famosa aproximação \sin t\sim t quando t\to0). Não vou assumir nada sem justificar: mostro cada identidade e cada aproximação.

Passo 3

Usamos a fatoração em diferença de quadrados e identidades para cosseno:
\cos^{2}(x)-\cos^{2}(y) = (\cos x - \cos y)(\cos x + \cos y).
Agora aplicamos as identidades
\cos a - \cos b = -2\sin\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\!\left(\frac{a-b}{2}\right)
e
\cos a + \cos b = 2\cos\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\frac{a-b}{2}\right).
Multiplicando essas duas fórmulas (com a=x e b=y) obtemos
\cos^{2}(x)-\cos^{2}(y) = \big(-2\sin\!\tfrac{x+y}{2}\sin\!\tfrac{x-y}{2}\big)\big(2\cos\!\tfrac{x+y}{2}\cos\!\tfrac{x-y}{2}\big).
Isso simplifica para
\cos^{2}(x)-\cos^{2}(y) = -4\sin\!\tfrac{x+y}{2}\cos\!\tfrac{x+y}{2}\,\sin\!\tfrac{x-y}{2}\cos\!\tfrac{x-y}{2}.
Usando 2\sin t\cos t=\sin(2t) duas vezes, temos
\cos^{2}(x)-\cos^{2}(y) = -\sin(x+y)\,\sin(x-y).

Passo 4

Substituindo essa expressão no limite, obtemos
\frac{x^{2}+y^{2}}{\cos^{2}(x)-\cos^{2}(y)} = -\,\frac{x^{2}+y^{2}}{\sin(x+y)\,\sin(x-y)}.
Agora precisamos entender o comportamento de \sin(x+y) e \sin(x-y) quando (x,y)\to(0,0). Lembrete útil (fato padrão de cálculo): \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Isso significa que, para t pequeno, \sin t se comporta como t (escrevemos informalmente \sin t\sim t). Vou usar essa aproximação de primeira ordem para testar dependência do limite em diferentes caminhos.

Passo 5

Uma técnica padrão para verificar existência de limite em duas variáveis é aproximar o caminho de chegada por retas y=kx e ver se o valor limite depende de k. Substituindo y=kx na expressão aproximada (com \sin linearizado), para x pequeno temos
\sin(x+y)\approx x+y = x(1+k), \qquad \sin(x-y)\approx x-y = x(1-k).
Assim, para k fixo e diferente de \pm 1,
-\,\frac{x^{2}+y^{2}}{\sin(x+y)\,\sin(x-y)} \approx -\,\frac{x^{2}+k^{2}x^{2}}{x^{2}(1+k)(1-k)} = -\,\frac{1+k^{2}}{1-k^{2}}.
Portanto, ao longo da reta y=kx (com k\neq\pm1) a expressão tende ao número
-\,\frac{1+k^{2}}{1-k^{2}}.
Isso já é um sinal forte de problema: o valor depende de k. Por exemplo:
\text{para }k=0\text{ (ou seja }y=0\text{) o limite dá }-\,\frac{1+0}{1-0}=-1,á
\text{para }k=2\text{ temos }-\,\frac{1+4}{1-4}=-\,\frac{5}{-3}=\frac{5}{3}.
Como -1\neq \tfrac{5}{3}, o valor do limite depende do caminho escolhido.

Passo 6

Também notamos que para k\to 1 a fórmula -\frac{1+k^{2}}{1-k^{2}} explode (denominador vai a zero), e isso corresponde ao fato de que na reta y=x o denominador original \cos^{2}(x)-\cos^{2}(y) é sempre zero (pois y=x implica \cos^{2}x-\cos^{2}x=0), o que faz a fração não ter um valor finito nessa reta. Logo existem caminhos que levam a limites finitos diferentes e caminhos que não dão limite finito.

Passo 7

Conclusão: como encontramos dois caminhos que tendem a (0,0) e que produzem limites diferentes (por exemplo, y=0 -1 e y=2x \tfrac{5}{3}), o limite da função quando (x,y)\to(0,0) não é único. Portanto o limite não existe como número real.

Resposta

O limite não existe.

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