Verifique se os limites abaixo existem, Em caso afirmativo, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o limite abaixo existe quando
tende a
e, se existir, encontrar o valor:
Informações dadas que vamos usar:
A tarefa é decidir se o limite existe (como número finito) e, em caso afirmativo, calcular esse número.
Passo 2
Primeiro vou transformar o denominador em uma forma que deixe claro o comportamento para
próximos de
. Vou usar identidades trigonométricas elementares para escrever
de forma mais manejável. Essa transformação normalmente ajuda a ver fatores que tendem a zero e permite usar aproximações para ângulos pequenos (a famosa aproximação
quando
). Não vou assumir nada sem justificar: mostro cada identidade e cada aproximação.
Passo 3
Usamos a fatoração em diferença de quadrados e identidades para cosseno:
Agora aplicamos as identidades
e
Multiplicando essas duas fórmulas (com
e
) obtemos
Isso simplifica para
Usando
duas vezes, temos
Passo 4
Substituindo essa expressão no limite, obtemos
Agora precisamos entender o comportamento de
e
quando
. Lembrete útil (fato padrão de cálculo):
. Isso significa que, para
pequeno,
se comporta como
(escrevemos informalmente
). Vou usar essa aproximação de primeira ordem para testar dependência do limite em diferentes caminhos.
Passo 5
Uma técnica padrão para verificar existência de limite em duas variáveis é aproximar o caminho de chegada por retas
e ver se o valor limite depende de
. Substituindo
na expressão aproximada (com
linearizado), para
pequeno temos
Assim, para
fixo e diferente de
,
Portanto, ao longo da reta
(com
) a expressão tende ao número
Isso já é um sinal forte de problema: o valor depende de
. Por exemplo:
Como
, o valor do limite depende do caminho escolhido.
Passo 6
Também notamos que para
a fórmula
explode (denominador vai a zero), e isso corresponde ao fato de que na reta
o denominador original
é sempre zero (pois
implica
), o que faz a fração não ter um valor finito nessa reta. Logo existem caminhos que levam a limites finitos diferentes e caminhos que não dão limite finito.
Passo 7
Conclusão: como encontramos dois caminhos que tendem a
e que produzem limites diferentes (por exemplo,
dá
e
dá
), o limite da função quando
não é único. Portanto o limite não existe como número real.
Resposta
O limite não existe.