Verifique se os limites abaixo existem. Caso sim, use a definição por \epsilon e \delta, para mostrar cada limite existente. Em cada caso abaixo, vamos ter que verificar que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
Isto é, temos satisfeita a definição de função contínua. Quando achar o \delta
(c) f(x, y)=\frac{x+y}{x^{2}+1}, \epsilon=0,01

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
existe, sendo
f(x,y)=\frac{x+y}{x^{2}+1}
e para isso usar a definição: dado \epsilon>0, achar \delta>0 tal que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta\quad\Rightarrow\quad\bigl|f(x,y)-f(0,0)\bigr|<\epsilon.
Aqui \epsilon=0,01 e note que f(0,0)=0.

Passo 2

Calculemos a diferença em módulo:
\bigl|f(x,y)-f(0,0)\bigr| =\left|\frac{x+y}{x^{2}+1}-0\right| =\frac{|x+y|}{x^{2}+1}.

Passo 3

Para montar um vínculo em termos de \sqrt{x^{2}+y^{2}}, usamos:
  1. Desigualdade triangular: |x+y|\le |x|+|y|.
  2. Relação entre norma euclidiana e soma de coordenadas:
|x|+|y|\le\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  1. E como x^{2}+1\ge1, temos
\frac{|x+y|}{x^{2}+1}\le\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{1} =\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Queremos
\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\epsilon.
Basta exigir
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}.
Logo, escolhendo
\delta=\frac{\epsilon}{\sqrt{2}},
garantimos que, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, \bigl|f(x,y)-0\bigr|<\epsilon. Para \epsilon=0,01,
\delta=\frac{0,01}{\sqrt{2}}.
Isso mostra que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite existe e vale 0. Para \epsilon=0,01, pode-se tomar
\delta=\frac{0,01}{\sqrt{2}}.

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