Verifique se os limites abaixo existem. Caso sim, use a definição por \epsilon e \delta, para mostrar cada limite existente. Em cada caso abaixo, vamos ter que verificar que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
Isto é, temos satisfeita a definição de função contínua. Quando achar o \delta
f(x, y)=\frac{y}{x^{2}+1}, \epsilon=0,05

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0),
onde
f(x,y)=\frac{y}{x^2+1}
e f(0,0)=0. Queremos usar a definição \epsilon- \delta com \epsilon=0,05: encontrar \delta>0 tal que
\sqrt{x^2+y^2}<\delta\quad\Rightarrow\quad\Bigl|f(x,y)-f(0,0)\Bigr|<0,05.

Passo 2

Primeiro calculamos f(0,0):
f(0,0)=\frac{0}{0^2+1}=0.
Então precisamos garantir
\Bigl|\frac{y}{x^2+1}-0\Bigr|<0,05
sempre que \sqrt{x^2+y^2}<\delta.

Passo 3

Para estimar \bigl|f(x,y)-0\bigr|, note que x^2+1\ge1. Logo
\Bigl|\frac{y}{x^2+1}\Bigr|\le|y|.
Além disso, pela desigualdade entre norma euclidiana e coordenadas,
|y|\le\sqrt{x^2+y^2}.
Combinando, vem
\bigl|f(x,y)-0\bigr|\le\sqrt{x^2+y^2}.

Passo 4

Para garantir \bigl|f(x,y)-0\bigr|<0,05, basta escolher \delta tal que
\sqrt{x^2+y^2}<\delta\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{x^2+y^2}<0,05.
A escolha natural é
\delta=\epsilon=0,05.

Resposta

Pode-se tomar \delta=0,05. Dessa forma, sempre que \sqrt{x^2+y^2}<\delta temos \bigl|f(x,y)-f(0,0)\bigr|<0,05, mostrando que o limite existe e vale 0.

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