Por que o limite
? justifique sua resposta.
Passo 1
Temos a função f(x,y)=
sen
e queremos estudar o limite
. O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar usar coordenadas polares para ver a dependência em relação à direção de chegada.
Passo 2
Fazendo a mudança para coordenadas polares, definimos
e
. Então
logo
Passo 3
Note que esta expressão não depende de
. Portanto, ao fazermos
(isto é,
), o valor da função tende a
, que varia conforme
.
Passo 4
Para ver que não há limite único, escolhemos dois caminhos:
– Eixo x positivo: implica
.
– Eixo y positivo: implica
.
– Eixo x positivo:
– Eixo y positivo:
Passo 5
Como os limites ao longo desses caminhos são diferentes, não existe limite único em
.
Resposta
O limite não existe, pois depende da direção de aproximação (por exemplo, ao longo do eixo x dá
e ao longo do eixo y dá 0).