Por que o limite lim (x, y) (0,0)(x^2x^2+y^2) sen(xraizx^2+y^2)=0 ? justifique sua resposta.

Passo 1

Temos a função f(x,y)= x^2x^2+y^2 sen l(xraizx^2+y^2r) e queremos estudar o limite (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar usar coordenadas polares para ver a dependência em relação à direção de chegada.

Passo 2

Fazendo a mudança para coordenadas polares, definimos x=rcostheta e y=rsintheta. Então
x^2x^2+y^2=r^2cos^2thetar^2=cos^2theta,
xraizx^2+y^2=rcosthetar=costheta,
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f(r,theta)=cos^2theta;sinl(costhetar)

Passo 3

Note que esta expressão não depende de r. Portanto, ao fazermos rto0 (isto é, (x,y)to(0,0)), o valor da função tende a cos^2theta,sin(costheta), que varia conforme theta.

Passo 4

Para ver que não há limite único, escolhemos dois caminhos:
– Eixo x positivo: theta=0 implica ftocos^2(0)sin(cos0)=1cdotsin1=sin1neq0.
– Eixo y positivo: theta=tfracpi2 implica ftocos^2(tfracpi2),sin(cos(tfracpi2))=0cdotsin0=0.

Passo 5

Como os limites ao longo desses caminhos são diferentes, não existe limite único em (0,0).

Resposta

O limite não existe, pois depende da direção de aproximação (por exemplo, ao longo do eixo x dá sin1 e ao longo do eixo y dá 0).

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