Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
usando as curvas de nível. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas por meio das curvas de nível
. Para resolver, precisamos (1) determinar a equação geral das curvas de nível, (2) classificar seu formato conforme o valor de
e (3) a partir delas visualizar o formato 3D da superfície.
Passo 2
Definimos a curva de nível de nível
como
Para colocar em forma canônica, reorganizamos:
- Se
, escrevemos
conforme o sinal de
.
- Se
, temos
um par de retas passando pela origem.
Passo 3
Analisamos cada caso de
:
- Para
, a equação fica
que é um hipérbole com eixos principais ao longo de
.
- Para
, a curva de nível é
duas retas passando pela origem.
- Para
, reescrevemos
um hipérbole com eixos principais ao longo de
.
Passo 4
Escolhendo valores típicos
:
- Para
:
(hipérbole ramos horizontais). - Para
:
(duas retas). - Para
:
(hipérbole ramos verticais).
No plano, essas curvas desenham laçadas de hipérbole que se abrem horizontalmente quando e verticalmente quando , e em formam as retas. Marque no esboço vários níveis como essas três para orientar o desenho.
Passo 5
A partir das curvas de nível inferimos que, ao movermos no eixo
,
cresce quadráticamente (concavidade para cima), enquanto no eixo
decresce quadráticamente (concavidade para baixo). Isso caracteriza um paraboloide hiperbólico (sela):
- Em direção ao eixo
, a superfície sobe formando “tigela” para cima. - Em direção ao eixo
, ela desce formando “tigela” para baixo.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide hiperbólico (sela). No plano
as curvas de nível são hipérboles abertas horizontalmente para
, retas no caso
e hipérboles abertas verticalmente para
. A partir desse padrão de curvas graduais, desenha-se o “sela” que sobe ao longo de
e desce ao longo de
.