Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :
f(x, y)=2 x^{2}-3 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x,y)=2x^{2}-3y^{2}
usando as curvas de nível. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas por meio das curvas de nível \{(x,y)\mid f(x,y)=k\}. Para resolver, precisamos (1) determinar a equação geral das curvas de nível, (2) classificar seu formato conforme o valor de k e (3) a partir delas visualizar o formato 3D da superfície.

Passo 2

Definimos a curva de nível de nível k como
2x^{2}-3y^{2}=k.
Para colocar em forma canônica, reorganizamos:
  • Se k\neq0, escrevemos
\frac{x^{2}}{k/2}-\frac{y^{2}}{k/3}=1 \quad\text{ou}\quad \frac{y^{2}}{-\,k/3}-\frac{x^{2}}{-\,k/2}=1
conforme o sinal de k.
  • Se k=0, temos
2x^{2}-3y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\;x,
um par de retas passando pela origem.

Passo 3

Analisamos cada caso de k:
  • Para k>0, a equação fica
\frac{x^{2}}{k/2}-\frac{y^{2}}{k/3}=1,
que é um hipérbole com eixos principais ao longo de x.
  • Para k=0, a curva de nível é
y=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,x,
duas retas passando pela origem.
  • Para k<0, reescrevemos
\frac{y^{2}}{-\,k/3}-\frac{x^{2}}{-\,k/2}=1,
um hipérbole com eixos principais ao longo de y.

Passo 4

Escolhendo valores típicos k=1,0,-1:
  • Para k=1:
    \displaystyle \frac{x^{2}}{1/2}-\frac{y^{2}}{1/3}=1 (hipérbole ramos horizontais).
  • Para k=0:
    y=\pm\sqrt{2/3}\,x (duas retas).
  • Para k=-1:
    \displaystyle \frac{y^{2}}{1/3}-\frac{x^{2}}{1/2}=1 (hipérbole ramos verticais).
    No plano xy, essas curvas desenham laçadas de hipérbole que se abrem horizontalmente quando k>0 e verticalmente quando k<0, e em k=0 formam as retas. Marque no esboço vários níveis como essas três para orientar o desenho.

Passo 5

A partir das curvas de nível inferimos que, ao movermos no eixo x, f cresce quadráticamente (concavidade para cima), enquanto no eixo y f decresce quadráticamente (concavidade para baixo). Isso caracteriza um paraboloide hiperbólico (sela):
  • Em direção ao eixo x, a superfície sobe formando “tigela” para cima.
  • Em direção ao eixo y, ela desce formando “tigela” para baixo.

Resposta

O gráfico de \,f(x,y)=2x^{2}-3y^{2} é um paraboloide hiperbólico (sela). No plano xy as curvas de nível são hipérboles abertas horizontalmente para k>0, retas no caso k=0 e hipérboles abertas verticalmente para k<0. A partir desse padrão de curvas graduais, desenha-se o “sela” que sobe ao longo de x e desce ao longo de y.

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