Se A=(ll2 & 4 1 & 3), B=(cc-2 & 1 0 & 4), C=(ll3 & 1 2 & 1). Verifique que:
(A+B) C=A C+B C

Passo 1

O enunciado dá três matrizes 2times2:
A = 2 & 4 1 & 3, B = -2 & 1 0 & 4, C = 3 & 1 2 & 1
e pede para verificar a propriedade distributiva
(A + B),C ;=; A,C ;+; B,C
Para isso, vamos calcular passo a passo A + B, depois (A+B)C, em seguida AC e BC, e mostrar que a soma AC+BC coincide com (A+B)C.

Passo 2

Calcular a soma A + B. Somamos elemento a elemento:
A + B = 2 + (-2) & 4 + 1 1 + 0 & 3 + 4 = 0 & 5 1 & 7

Passo 3

Multiplicar (A + B) por C. Fazendo o produto
(A+B),C = 0 & 5 1 & 7 3 & 1 2 & 1,
cada entrada é
l((A+B)Cr)11 = 0cdot3 + 5cdot2 = 10, l((A+B)Cr)12 = 0cdot1 + 5cdot1 = 5,
l((A+B)Cr)21 = 1cdot3 + 7cdot2 = 17, l((A+B)Cr)22 = 1cdot1 + 7cdot1 = 8
Logo,
(A+B),C = 10 & 5 17 & 8

Passo 4

Calcular A,C. Temos
A,C = 2 & 4 1 & 3 3 & 1 2 & 1,
então
(AC)11 = 2cdot3 + 4cdot2 = 6 + 8 = 14, (AC)12 = 2cdot1 + 4cdot1 = 2 + 4 = 6,
(AC)21 = 1cdot3 + 3cdot2 = 3 + 6 = 9, (AC)22 = 1cdot1 + 3cdot1 = 1 + 3 = 4
Portanto,
A,C = 14 & 6 9 & 4

Passo 5

Calcular B,C. Fazendo
B,C = -2 & 1 0 & 4 3 & 1 2 & 1,
obtemos
(BC)11 = -2cdot3 + 1cdot2 = -6 + 2 = -4, (BC)12 = -2cdot1 + 1cdot1 = -2 + 1 = -1,
(BC)21 = 0cdot3 + 4cdot2 = 8, (BC)22 = 0cdot1 + 4cdot1 = 4
Assim,
B,C = -4 & -1 8 & 4

Passo 6

Somar A,C + B,C:
A,C + B,C = 14 & 6 9 & 4 + -4 & -1 8 & 4 = 14-4 & 6-1 9+8 & 4+4 = 10 & 5 17 & 8
Note que isso coincide exatamente com (A+B)C do Passo 3.

Resposta

(A + B),C ;=; A,C ;+; B,C,
pois ambos os lados são iguais a
10 & 5 17 & 8.

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