Se A=(ll2 & 4 1 & 3), B=(cc-2 & 1 0 & 4), C=(ll3 & 1 2 & 1). Verifique que:
(A B) C=A(B C)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a associatividade da multiplicação de matrizes, ou seja, mostrar que
(AB)C = A,(BC)
sendo
A = 2 & 4 [6pt] 1 & 3, B = -2 & 1 [6pt] 0 & 4, C = 3 & 1 [6pt] 2 & 1
Para isso, vamos calcular primeiro AB e depois (AB)C; em seguida calcular BC e depois A(BC), e comparar os resultados.]

Passo 2

Calcular AB usando a definição de multiplicação linha-por-coluna:
AB = 2 & 4 [4pt]1 & 3 -2 & 1 [4pt]0 & 4 = 2cdot(-2)+4cdot0 & 2cdot1+4cdot4 [4pt] 1cdot(-2)+3cdot0 & 1cdot1+3cdot4 = -4 & 18 [4pt] -2 & 13 ]

Passo 3

Multiplicar o resultado por C:
(AB)C = -4 & 18 [4pt]-2 & 13 3 & 1 [4pt]2 & 1 = -4cdot3+18cdot2 & -4cdot1+18cdot1 [4pt] -2cdot3+13cdot2 & -2cdot1+13cdot1 = 24 & 14 [4pt]20 & 11 ]

Passo 4

Agora calculamos BC:
BC = -2 & 1 [4pt]0 & 4 3 & 1 [4pt]2 & 1 = -2cdot3+1cdot2 & -2cdot1+1cdot1 [4pt] 0cdot3+4cdot2 & 0cdot1+4cdot1 = -4 & -1 [4pt]8 & 4 ]

Passo 5

Multiplicar A por esse resultado:
A(BC) = 2 & 4 [4pt]1 & 3 -4 & -1 [4pt]8 & 4 = 2cdot(-4)+4cdot8 & 2cdot(-1)+4cdot4 [4pt] 1cdot(-4)+3cdot8 & 1cdot(-1)+3cdot4 = 24 & 14 [4pt]20 & 11 ]

Passo 6

Comparando os resultados, vemos que
(AB)C = 24 & 14 [4pt]20 & 11 e A(BC) = 24 & 14 [4pt]20 & 11,
ou seja, são iguais.]

Resposta

Como (AB)C = A(BC) = 24 & 14 [4pt]20 & 11, está verificada a associatividade da multiplicação de matrizes para A,B,C.]

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