Verifique que:
\mathbb{C} não possui uma ordem compatível com as operações de adição e multiplicação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe relação de ordem total “ \le” em \mathbb{C} que satisfaça, para todos a,b,c\in\mathbb{C}:
  1. se a\le b então a+c\le b+c;
  2. se 0\le a e 0\le b então 0\le a\,b.
    Isto é, provar que \mathbb{C} não pode ser um corpo ordenado. Vamos usar a propriedade fundamental de corpos ordenados de que todo quadrado é não–negativo.

Passo 2

Em qualquer corpo ordenado, ou 1>0 ou 1<0. Suponha, por absurdo, que 1<0. Então, somando -1 em ambos os lados, obtém-se
0 < -1.
Como -1>0, o produto (-1)\cdot(-1) também é positivo, logo
0 < (-1)\cdot(-1) = 1,
o que contradiz 1<0. Portanto, não pode ser 1<0, e deduzimos que 1>0.

Passo 3

Num corpo ordenado, para todo x vale x^2\ge0. Aplicando isso a x=i, temos
i^2 \ge 0.
Mas i^2 = -1, logo
-1 \ge 0.
Somando 1 em ambos os lados dá 0 \ge 1, em contradição direta com o fato de que 1>0 (Passo 2).

Resposta

Não existe ordem em \mathbb{C} compatível com adição e multiplicação.

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