Verifique que:
não possui uma ordem compatível com as operações de adição e multiplicação.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe relação de ordem total “
” em
que satisfaça, para todos
:
- se
então ; - se
e então .
Isto é, provar quenão pode ser um corpo ordenado. Vamos usar a propriedade fundamental de corpos ordenados de que todo quadrado é não–negativo.
Passo 2
Em qualquer corpo ordenado, ou
ou
. Suponha, por absurdo, que
. Então, somando
em ambos os lados, obtém-se
Como
, o produto
também é positivo, logo
o que contradiz
. Portanto, não pode ser
, e deduzimos que
Passo 3
Num corpo ordenado, para todo
vale
. Aplicando isso a
, temos
Mas
, logo
Somando
em ambos os lados dá
em contradição direta com o fato de que
(Passo 2).
Resposta
Não existe ordem em
compatível com adição e multiplicação.