Verifique que:
Existem exatamente n raízes n-ésimas distintas para um z_{0} \in \mathbb{C}, z_{0} \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
w^n = z_{0},\quad z_{0}\neq 0,
tem exatamente n soluções distintas em \mathbb{C}. Vamos usar a representação polar de números complexos e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Como z_{0}\neq 0, podemos escrevê-lo em forma polar: existem r>0 e \theta\in\mathbb{R} tais que
z_{0} = r\,e^{i\theta}.

Passo 3

Suponha que w seja uma solução de w^n = z_{0}. Escrevemos w em forma polar:
w = \rho\,e^{i\varphi},\quad \rho>0,\;\varphi\in\mathbb{R}.
Então
w^n = \rho^n\,e^{i n\varphi} \;\overset{!}{=}\; r\,e^{i\theta}.
Igualando módulo e argumento obtemos
\rho^n = r \quad\text{e}\quad n\varphi = \theta + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Da igualdade \rho^n = r vem
\rho = r^{1/n}.
Da outra, vêm os possíveis argumentos:
\varphi = \frac{\theta + 2\pi k}{n}.
Logo todas as soluções estão dadas por
w_k = r^{1/n}\,e^{\,i(\theta + 2\pi k)/n}, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Como a função k\mapsto e^{\,i(\theta + 2\pi k)/n} tem período n, as raízes distintas correspondem exatamente a
k = 0,1,2,\dots,n-1.
Se w_k = w_{k'} então \tfrac{2\pi(k-k')}{n} é múltiplo de 2\pi, o que implica k\equiv k'\pmod n. Portanto há exatamente n soluções distintas.

Resposta

As n raízes de w^n=z_{0} são
w_k = r^{1/n}\,e^{\,i(\theta + 2\pi k)/n}, \quad k=0,1,\dots,n-1,
totalizando exatamente n raízes distintas.

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