Verifique que:
Existem exatamente
raízes
-ésimas distintas para um
.
Existem exatamente
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem exatamente
soluções distintas em
. Vamos usar a representação polar de números complexos e a fórmula de De Moivre.
Passo 2
Como
, podemos escrevê-lo em forma polar: existem
e
tais que
Passo 3
Suponha que
seja uma solução de
. Escrevemos
em forma polar:
Então
Igualando módulo e argumento obtemos
Passo 4
Da igualdade
vem
Da outra, vêm os possíveis argumentos:
Logo todas as soluções estão dadas por
Passo 5
Como a função
tem período
, as raízes distintas correspondem exatamente a
Se
então
é múltiplo de
, o que implica
. Portanto há exatamente
soluções distintas.
Resposta
As
raízes de
são
totalizando exatamente
raízes distintas.