Verifique se f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3 x-7, é injetora, sobrejetora e bijetora. Em caso afirmativo, determine f^{-1}.
37. Considere f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-4 x+5. Mostre que f não é injetora, determine sua imagem, verifique se é sobrejetora e proponha uma restrição de domínio para torná-la inversível.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede para cada função.
Para a primeira função:
  • Dada f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, definida por f(x)=3x-7.
  • Perguntas: verificar se f é injetora, sobrejetora e bijetora; em caso afirmativo, determinar f^{-1}.
Para a segunda função (questão 37):
  • Dada f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, definida por f(x)=x^{2}-4x+5.
  • Pedidos: mostrar que f não é injetora, determinar a imagem de f, verificar se é sobrejetora, e propor uma restrição de domínio que torne f inversível (ou seja, bijetora após a restrição) e indicar a inversa nessa restrição.

Passo 2

Definições importantes (vou explicar bem devagar porque são essenciais na prova).
  • Injetora (ou injetiva): f é injetora se para quaisquer x_1,x_2\in\mathbb{R}, a condição f(x_1)=f(x_2) implica x_1=x_2. Em palavras: dois pontos distintos do domínio não podem ter a mesma imagem.
  • Sobrejetora (ou sobrejetiva): f é sobrejetora se para todo y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Em palavras: a imagem de f é todo o contradomínio.
  • Bijetora: f é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora. Nesse caso existe uma função inversa f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que f^{-1}(f(x))=x para todo x do domínio.

Passo 3

Analisando f(x)=3x-7 (função afim).
  • Observe que f é uma função linear afim com coeficiente angular 3 (a “inclinação”). Um fato essencial: uma função afim g(x)=ax+b com a\neq0 é estritamente monotona (quando a>0 é crescente; quando a<0 é decrescente). Funções estritamente monotonas são sempre injetoras, porque se g(x_1)=g(x_2) então a monotonia força x_1=x_2.
  • Aqui a=3\neq0, logo f é estritamente crescente e portanto injetora.
Vou também demonstrar por verificação direta da definição, para ficar cristalino:
  • Suponha f(x_1)=f(x_2). Então
3x_1-7=3x_2-7.
Somando 7 em ambos os lados:
3x_1=3x_2.
Dividindo por 3 (permitido pois 3\neq0):
x_1=x_2.
Isso prova injetividade.

Passo 4

Verificando sobrejetividade de f(x)=3x-7.
  • Para testar se f é sobrejetora no contradomínio \mathbb{R}, peço: dado um y\in\mathbb{R}, existe x\in\mathbb{R} tal que 3x-7=y ?
  • Resolver a equação para x:
3x-7=y \quad\Rightarrow\quad 3x=y+7 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y+7}{3}.
  • Para qualquer y\in\mathbb{R}, o valor x=(y+7)/3 é um número real, logo existe x\in\mathbb{R} com f(x)=y. Assim f é sobrejetora.

Passo 5

Concluindo para a primeira função e encontrando a inversa.
  • Como f é injetora e sobrejetora, então é bijetora.
  • A inversa f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é justamente a fórmula que obtivemos ao resolver y=3x-7 para x. Tomando y como entrada da inversa,
y=f(x)=3x-7 \quad\Rightarrow\quad x=f^{-1}(y)=\frac{y+7}{3}.
  • Em notação comum trocando o papel de y por x (usar x como variável independente da inversa):
f^{-1}(x)=\frac{x+7}{3}.

Passo 6

Agora vamos para f(x)=x^{2}-4x+5. Primeiro reescrever a função para entender sua forma.
  • Completar o quadrado é a técnica: x^{2}-4x+5 = (x^{2}-4x+4)+1 = (x-2)^{2}+1.
  • Essa forma nos diz imediatamente que o gráfico é uma parábola com vértice em x=2 e valor mínimo (porque é (x-2)^2 positivo) igual a 1. Ou seja, para todo x\in\mathbb{R},
f(x)=(x-2)^{2}+1 \ge 1,
com igualdade quando x=2.

Passo 7

Mostrar que f não é injetora (prova por contraexemplo).
  • Se eu achar x_1\neq x_2 com f(x_1)=f(x_2), já basta.
  • Pegue x_1=1 e x_2=3. Calcule:
f(1)=(1-2)^{2}+1=1+1=2,
f(3)=(3-2)^{2}+1=1+1=2.
  • Assim f(1)=f(3)=2 mas 1\neq3. Logo f não é injetora.
Também se pode justificar conceitualmente: parabolas simétricas em torno da reta vertical x=2 dão o mesmo valor para x equidistantes do vértice, então não-injetividade é típica.

Passo 8

Determinar a imagem de f(x)=(x-2)^{2}+1.
  • Como já vimos, (x-2)^{2}\ge0 para todo x, então f(x)\ge1.
  • O valor 1 é atingido em x=2 (vértice). E para qualquer y>1 podemos achar x tal que f(x)=y (por exemplo x=2+\sqrt{y-1} ou x=2-\sqrt{y-1}).
  • Portanto a imagem (conjunto de valores possíveis) é
\text{Im}(f)=[1,\infty).

Passo 9

Verificar sobrejetividade de f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • O contradomínio é todo \mathbb{R}, mas a imagem é [1,\infty). Como [1,\infty)\neq\mathbb{R}, não é verdade que para todo y\in\mathbb{R} existe x com f(x)=y. Por exemplo, y=0 não está na imagem.
  • Logo f não é sobrejetora quando considerado como função \mathbb{R}\to\mathbb{R}.

Passo 10

Propor uma restrição de domínio que torne f inversível e encontrar a inversa nessa restrição.
  • Ideia: para que uma função não injetora fique injetora ao restringir o domínio, precisa-se escolher um subconjunto do domínio onde f seja monotona (estritamente crescente ou estritamente decrescente). Para a parábola f(x)=(x-2)^{2}+1:
    • A derivada é f'(x)=2(x-2). Isso mostra que f'(x)<0 para x<2 (strictamente decrescente em (-\infty,2)), f'(2)=0, e f'(x)>0 para x>2 (strictamente crescente em (2,\infty)).
  • Portanto, duas opções naturais de restrição que tornam f bijetora entre o domínio restrito e [1,\infty) são:
    • restrição ao intervalo [2,\infty), onde f é estritamente crescente;
    • ou restrição ao intervalo (-\infty,2], onde f é estritamente decrescente.
  • Vou escolher a restrição f:[2,\infty)\to[1,\infty) (é a escolha mais comum porque a inversa tem a raiz positiva).

Passo 11

Determinar a inversa na restrição f:[2,\infty)\to[1,\infty).
  • Para y\in[1,\infty), queremos resolver y=(x-2)^{2}+1 para x, lembrando que devemos escolher a raiz compatível com o domínio x\ge2.
  • Resolver:
y=(x-2)^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad (x-2)^{2}=y-1.
Como y\ge1, o lado direito é \ge0, e
x-2=\pm\sqrt{y-1}.
  • Para a restrição x\ge2 devemos tomar o sinal +, logo
x=2+\sqrt{y-1}.
  • Assim a inversa é a função f^{-1}:[1,\infty)\to[2,\infty) dada por
f^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1}.
  • (Se estivéssemos usando a restrição (-\infty,2] a inversa seria f^{-1}(y)=2-\sqrt{y-1}.)

Resposta

Para f(x)=3x-7:
Sim, f é injetora.
Sim, f é sobrejetora.
Sim, f é bijetora.
f^{-1}(x)=\dfrac{x+7}{3}
Para f(x)=x^{2}-4x+5:
f não é injetora.
\operatorname{Im}(f)=[1,\infty)
f não é sobrejetora (como função de \mathbb{R} em \mathbb{R}).
Uma restrição que torna f inversível é f:[2,\infty)\to[1,\infty), cuja inversa é f^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1}.

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