Verifique se
, é injetora, sobrejetora e bijetora. Em caso afirmativo, determine
.
37. Considere
. Mostre que
não é injetora, determine sua imagem, verifique se é sobrejetora e proponha uma restrição de domínio para torná-la inversível.
37. Considere
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede para cada função.
Para a primeira função:
- Dada
, definida por . - Perguntas: verificar se
é injetora, sobrejetora e bijetora; em caso afirmativo, determinar .
Para a segunda função (questão 37):
- Dada
, definida por . - Pedidos: mostrar que
não é injetora, determinar a imagem de , verificar se é sobrejetora, e propor uma restrição de domínio que torne inversível (ou seja, bijetora após a restrição) e indicar a inversa nessa restrição.
Passo 2
Definições importantes (vou explicar bem devagar porque são essenciais na prova).
- Injetora (ou injetiva):
é injetora se para quaisquer , a condição implica . Em palavras: dois pontos distintos do domínio não podem ter a mesma imagem. - Sobrejetora (ou sobrejetiva):
é sobrejetora se para todo existe tal que . Em palavras: a imagem de é todo o contradomínio. - Bijetora:
é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora. Nesse caso existe uma função inversa tal que para todo do domínio.
Passo 3
Analisando
(função afim).
- Observe que
é uma função linear afim com coeficiente angular (a “inclinação”). Um fato essencial: uma função afim com é estritamente monotona (quando é crescente; quando é decrescente). Funções estritamente monotonas são sempre injetoras, porque se então a monotonia força . - Aqui
, logo é estritamente crescente e portanto injetora.
Vou também demonstrar por verificação direta da definição, para ficar cristalino:
- Suponha
. Então
Somando
em ambos os lados:
Dividindo por
(permitido pois
):
Isso prova injetividade.
Passo 4
Verificando sobrejetividade de
.
- Para testar se
é sobrejetora no contradomínio , peço: dado um , existe tal que ? - Resolver a equação para
:
- Para qualquer
, o valor é um número real, logo existe com . Assim é sobrejetora.
Passo 5
Concluindo para a primeira função e encontrando a inversa.
- Como
é injetora e sobrejetora, então é bijetora. - A inversa
é justamente a fórmula que obtivemos ao resolver para . Tomando como entrada da inversa,
- Em notação comum trocando o papel de
por (usar como variável independente da inversa):
Passo 6
Agora vamos para
. Primeiro reescrever a função para entender sua forma.
- Completar o quadrado é a técnica:
. - Essa forma nos diz imediatamente que o gráfico é uma parábola com vértice em
e valor mínimo (porque é positivo) igual a . Ou seja, para todo ,
com igualdade quando
.
Passo 7
Mostrar que
não é injetora (prova por contraexemplo).
- Se eu achar
com , já basta. - Pegue
e . Calcule:
- Assim
mas . Logo não é injetora.
Também se pode justificar conceitualmente: parabolas simétricas em torno da reta vertical
dão o mesmo valor para
equidistantes do vértice, então não-injetividade é típica.
Passo 8
Determinar a imagem de
.
- Como já vimos,
para todo , então . - O valor
é atingido em (vértice). E para qualquer podemos achar tal que (por exemplo ou ). - Portanto a imagem (conjunto de valores possíveis) é
Passo 9
Verificar sobrejetividade de
.
- O contradomínio é todo
, mas a imagem é . Como , não é verdade que para todo existe com . Por exemplo, não está na imagem. - Logo
não é sobrejetora quando considerado como função .
Passo 10
Propor uma restrição de domínio que torne
inversível e encontrar a inversa nessa restrição.
- Ideia: para que uma função não injetora fique injetora ao restringir o domínio, precisa-se escolher um subconjunto do domínio onde
seja monotona (estritamente crescente ou estritamente decrescente). Para a parábola : - A derivada é
. Isso mostra que para (strictamente decrescente em ), , e para (strictamente crescente em ).
- A derivada é
- Portanto, duas opções naturais de restrição que tornam
bijetora entre o domínio restrito e são: - restrição ao intervalo
, onde é estritamente crescente; - ou restrição ao intervalo
, onde é estritamente decrescente.
- restrição ao intervalo
- Vou escolher a restrição
(é a escolha mais comum porque a inversa tem a raiz positiva).
Passo 11
Determinar a inversa na restrição
.
- Para
, queremos resolver para , lembrando que devemos escolher a raiz compatível com o domínio . - Resolver:
Como
, o lado direito é
, e
- Para a restrição
devemos tomar o sinal , logo
- Assim a inversa é a função
dada por
- (Se estivéssemos usando a restrição
a inversa seria .)
Resposta
Para
:
Sim, é injetora.
Sim, é sobrejetora.
Sim, é bijetora.
Sim,
Sim,
Sim,
Para
:
não é injetora.
não é sobrejetora (como função de
em
).
Uma restrição que torna inversível é
, cuja inversa é
.
Uma restrição que torna