Considere
. Mostre que
não é injetora, determine sua imagem, verifique se é sobrejetora e proponha uma restrição de domínio para torná-la inversível.
38. Considere
38. Considere
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas pedidas são:
- Mostrar que
não é injetora. - Determinar a imagem (conjunto imagem) de
. - Verificar se
é sobrejetora (ou seja, se sua imagem é todo ). - Propor uma restrição do domínio que torne
inversível (isto é, injetora e então bijetora entre domínio restrito e imagem).
Passo 2
Vamos lembrar, com calma, o que cada conceito significa (sem pular etapas):
- Injetiva:
é injetora se valores diferentes de entrada produzem valores diferentes na saída. Em símbolos: é injetora se, sempre que , então . - Imagem (ou intervalo imagem): é o conjunto
. - Sobrejetora:
é sobrejetora se a imagem de for todo o contradomínio; aqui o contradomínio é , então sobrejetora significaria . - Inversível: uma função é inversível (tem inversa) se for bijetora (injetora + sobrejetora). Como normalmente a imagem de um polinômio quadrático não é todo
, o que se faz é restringir o domínio para obter injetividade e então definir a inversa de e para a imagem.
Passo 3
Mostro que
não é injetora por um contraexemplo simples (isto é suficiente): calcule
e
.
Como
e
, existem duas entradas distintas que têm a mesma imagem; portanto
não é injetora.
Explicação intuitiva:
é um polinômio quadrático cujo gráfico é uma parábola; parábolas que abrem para cima têm a mesma altura em dois pontos simétricos em relação ao eixo de simetria, então não são injetoras em todo
.
Passo 4
Para determinar a imagem, é útil colocar
na forma canônica (completando o quadrado). Faço isso passo a passo:
Separe o termo quadrático e linear e complete o quadrado:
Agora substituo em
:
Esta forma é muito clara:
é sempre
, então
é sempre
. Além disso, para
atinge exatamente
. Logo o menor valor possível de
é
, e não existe valor de
menor que
.
Portanto a imagem de
é o intervalo
Passo 5
Com a imagem encontrada fica fácil responder sobre sobrejetividade: o contradomínio dado é
, mas a imagem é
. Logo
não é sobrejetora como função
.
Em palavras: não existem
tais que
ou qualquer número menor que
. Portanto não atinge todos os reais.
Passo 6
Agora a parte de tornar
inversível: para ter inversa precisamos de injetividade (já que a imagem será então o novo contradomínio). Observação importante sobre monotonicidade (uma maneira prática de garantir injetividade para funções reais):
- Derivada de
: . -
para : a função é estritamente decrescente em . -
para : a função é estritamente crescente em .
No pontoa derivada é zero e é o vértice/minimo.
Portanto, se restringirmos o domínio a um dos semieixos que contenham o vértice na borda, a função fica monotônica e assim injetora. Duas escolhas naturais são:
- restrição ao domínio
: ali é estritamente crescente; - restrição ao domínio
: ali é estritamente decrescente.
Ambas transformam
em função injetora. A imagem continua sendo
em ambos os casos (porque todos os valores
são atingidos).
Passo 7
Agora calculo explicitamente a inversa para a restrição conveniente. Escolho a restrição
porque a inversa fica com sinal positivo na raiz e é mais direta. Parto da equação
Isolo
em função de
:
Tiro raiz (lembrando dos sinais
):
Como estou restrito ao domínio
, só aceito a raiz positiva (porque
). Assim a inversa
é dada por
Se em vez disso tivesse escolhido a restrição
, a inversa seria
Resposta
Uma restrição que torna