Considere f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-4 x+5. Mostre que f não é injetora, determine sua imagem, verifique se é sobrejetora e proponha uma restrição de domínio para torná-la inversível.
38. Considere

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=x^{2}-4x+5.
As perguntas pedidas são:
  • Mostrar que f não é injetora.
  • Determinar a imagem (conjunto imagem) de f.
  • Verificar se f é sobrejetora (ou seja, se sua imagem é todo \mathbb{R}).
  • Propor uma restrição do domínio que torne f inversível (isto é, injetora e então bijetora entre domínio restrito e imagem).

Passo 2

Vamos lembrar, com calma, o que cada conceito significa (sem pular etapas):
  • Injetiva: f é injetora se valores diferentes de entrada produzem valores diferentes na saída. Em símbolos: f é injetora se, sempre que f(a)=f(b), então a=b.
  • Imagem (ou intervalo imagem): é o conjunto \{\,f(x)\mid x\in\mathbb{R}\,\}.
  • Sobrejetora: f é sobrejetora se a imagem de f for todo o contradomínio; aqui o contradomínio é \mathbb{R}, então sobrejetora significaria \{f(x):x\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}.
  • Inversível: uma função é inversível (tem inversa) se for bijetora (injetora + sobrejetora). Como normalmente a imagem de um polinômio quadrático não é todo \mathbb{R}, o que se faz é restringir o domínio para obter injetividade e então definir a inversa de e para a imagem.

Passo 3

Mostro que f não é injetora por um contraexemplo simples (isto é suficiente): calcule f(1) e f(3).
f(1)=1^{2}-4\cdot1+5=1-4+5=2,
f(3)=3^{2}-4\cdot3+5=9-12+5=2.
Como 1\neq3 e f(1)=f(3), existem duas entradas distintas que têm a mesma imagem; portanto f não é injetora.
Explicação intuitiva: f é um polinômio quadrático cujo gráfico é uma parábola; parábolas que abrem para cima têm a mesma altura em dois pontos simétricos em relação ao eixo de simetria, então não são injetoras em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Para determinar a imagem, é útil colocar f na forma canônica (completando o quadrado). Faço isso passo a passo:
f(x)=x^{2}-4x+5.
Separe o termo quadrático e linear e complete o quadrado:
x^{2}-4x=(x^{2}-4x+4)-4=(x-2)^{2}-4.
Agora substituo em f(x):
f(x)=(x-2)^{2}-4+5=(x-2)^{2}+1.
Esta forma é muito clara: (x-2)^{2} é sempre \ge 0, então (x-2)^{2}+1 é sempre \ge 1. Além disso, para x=2 atinge exatamente 1. Logo o menor valor possível de f(x) é 1, e não existe valor de f menor que 1.
Portanto a imagem de f é o intervalo
\operatorname{Im}(f)=[1,\infty).

Passo 5

Com a imagem encontrada fica fácil responder sobre sobrejetividade: o contradomínio dado é \mathbb{R}, mas a imagem é [1,\infty)\neq\mathbb{R}. Logo f não é sobrejetora como função \mathbb{R}\to\mathbb{R}.
Em palavras: não existem x\in\mathbb{R} tais que f(x)=0 ou qualquer número menor que 1. Portanto não atinge todos os reais.

Passo 6

Agora a parte de tornar f inversível: para ter inversa precisamos de injetividade (já que a imagem será então o novo contradomínio). Observação importante sobre monotonicidade (uma maneira prática de garantir injetividade para funções reais):
  • Derivada de f: f'(x)=2x-4.
  • f'(x)<0 para x<2: a função é estritamente decrescente em (-\infty,2).
  • f'(x)>0 para x>2: a função é estritamente crescente em (2,\infty).
    No ponto x=2 a derivada é zero e é o vértice/minimo.
Portanto, se restringirmos o domínio a um dos semieixos que contenham o vértice na borda, a função fica monotônica e assim injetora. Duas escolhas naturais são:
  • restrição ao domínio [2,\infty): ali f é estritamente crescente;
  • restrição ao domínio (-\infty,2]: ali f é estritamente decrescente.
Ambas transformam f em função injetora. A imagem continua sendo [1,\infty) em ambos os casos (porque todos os valores \ge 1 são atingidos).

Passo 7

Agora calculo explicitamente a inversa para a restrição conveniente. Escolho a restrição f:[2,\infty)\to[1,\infty) porque a inversa fica com sinal positivo na raiz e é mais direta. Parto da equação
y=f(x)=(x-2)^{2}+1.
Isolo x em função de y:
y-1=(x-2)^{2}.
Tiro raiz (lembrando dos sinais \pm):
x-2=\pm\sqrt{y-1}.
Como estou restrito ao domínio x\ge 2, só aceito a raiz positiva (porque x-2\ge 0). Assim a inversa f^{-1} é dada por
f^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1},\qquad y\in[1,\infty).
Se em vez disso tivesse escolhido a restrição x\le 2, a inversa seria
f^{-1}(y)=2-\sqrt{y-1},\qquad y\in[1,\infty).

Resposta

f não é injetora.
\operatorname{Im}(f)=[1,\infty).
f não é sobrejetora como função \mathbb{R}\to\mathbb{R}.
Uma restrição que torna f inversível é f:[2,\infty)\to[1,\infty) com inversa f^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1} para y\in[1,\infty).

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