Determine se
f(x)=\frac{2 x+1}{x-3}
é crescente ou decrescente em cada intervalo de seu domínio.

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=\frac{2x+1}{x-3}
e pede para determinar em quais intervalos do domínio f é crescente ou decrescente.
Informações fornecidas e pedidos:
  • A função é f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}.
  • Domínio: todos os reais exceto x=3, isto é, (-\infty,3)\cup(3,\infty).
  • Pergunta: em quais intervalos do domínio f é crescente ou decrescente?

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem cálculos ainda).
  • Para decidir monotonicidade (crescente/decrescente) numa função diferenciável, o jeito mais direto é estudar o sinal da derivada f'(x): se f'(x)>0 em um intervalo então f é estritamente crescente ali; se f'(x)<0 em um intervalo então f é estritamente decrescente ali.
  • Vou transformar a função para uma forma mais simples e calcular f'(x). Depois analiso o sinal de f'(x) em cada parte do domínio.

Passo 3

Simplificar a função por divisão de polinômios (isso facilita a derivação).
Calcular a divisão de (2x+1) por (x-3). Fazer a conta:
2x+1 = 2(x-3) + 7,
porque 2(x-3)=2x-6 e (2x+1)-(2x-6)=7. Portanto:
f(x)=\frac{2x+1}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}.

Passo 4

Derivar a função usando regras básicas (regra do poder / cadeia).
Escrever a parte não-constante como potência:
f(x)=2+7(x-3)^{-1}.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de 2 é 0.
  • Para 7(x-3)^{-1}, aplicamos a regra do poder e a regra da cadeia: a derivada de (x-3)^{-1} é -1\,(x-3)^{-2} multiplicada por \dfrac{d}{dx}(x-3)=1. Logo
f'(x)=0 + 7\cdot\bigl(-1\bigr)(x-3)^{-2} = -\frac{7}{(x-3)^{2}}.

Passo 5

Analisar o sinal de f'(x) no domínio e concluir a monotonicidade.
  • Observação: (x-3)^{2}>0 para todo x\neq3. Ou seja, o denominador é sempre positivo nos pontos do domínio.
  • O numerador é -7, que é negativo.
  • Portanto, para todo x do domínio:
f'(x)=-\frac{7}{(x-3)^{2}}<0.
  • Conclusão teórica: como f'(x)<0 em cada intervalo conectado do domínio, f é estritamente decrescente em cada um desses intervalos. Especificamente, f é estritamente decrescente em (-\infty,3) e em (3,\infty). Em x=3 a função não está definida.

Passo 6

Ilustração rápida para fixar (exemplo numérico).
  • Escolhendo x=0 e x=1 (ambos em (-\infty,3)):
f(0)=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3},\qquad f(1)=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2},
e -\tfrac{3}{2}<-\tfrac{1}{3}, ou seja, conforme x aumentou de 0 para 1 a função diminuiu, consistente com f'(x)<0.
  • Escolhendo x=4 e x=5 (ambos em (3,\infty)):
f(4)=\frac{9}{1}=9,\qquad f(5)=\frac{11}{2}=5{,}5,
e 5{,}5<9, novamente a função diminuiu quando x aumentou.

Resposta

f é estritamente decrescente em (-\infty,3) e em (3,\infty).

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