Determine se
é crescente ou decrescente em cada intervalo de seu domínio.
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
e pede para determinar em quais intervalos do domínio
é crescente ou decrescente.
Informações fornecidas e pedidos:
- A função é
. - Domínio: todos os reais exceto
, isto é, . - Pergunta: em quais intervalos do domínio
é crescente ou decrescente?
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem cálculos ainda).
- Para decidir monotonicidade (crescente/decrescente) numa função diferenciável, o jeito mais direto é estudar o sinal da derivada
: se em um intervalo então é estritamente crescente ali; se em um intervalo então é estritamente decrescente ali. - Vou transformar a função para uma forma mais simples e calcular
. Depois analiso o sinal de em cada parte do domínio.
Passo 3
Simplificar a função por divisão de polinômios (isso facilita a derivação).
Calcular a divisão de por
. Fazer a conta:
Calcular a divisão de
porque
e
. Portanto:
Passo 4
Derivar a função usando regras básicas (regra do poder / cadeia).
Escrever a parte não-constante como potência:
Escrever a parte não-constante como potência:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - Para
, aplicamos a regra do poder e a regra da cadeia: a derivada de é multiplicada por . Logo
Passo 5
Analisar o sinal de
no domínio e concluir a monotonicidade.
- Observação:
para todo . Ou seja, o denominador é sempre positivo nos pontos do domínio. - O numerador é
, que é negativo. - Portanto, para todo
do domínio:
- Conclusão teórica: como
em cada intervalo conectado do domínio, é estritamente decrescente em cada um desses intervalos. Especificamente, é estritamente decrescente em e em . Em a função não está definida.
Passo 6
Ilustração rápida para fixar (exemplo numérico).
- Escolhendo
e (ambos em ):
e
, ou seja, conforme
aumentou de
para
a função diminuiu, consistente com
.
- Escolhendo
e (ambos em ):
e
, novamente a função diminuiu quando
aumentou.