Considerando em (R^{2}
) o produto interno definido por (<x, y>=x_{1} y_{1}-x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2}+2 x_{2} y_{2}
), determine o cosseno do ângulo entre os vetores ((1,0) \mathrm{e}(1,1)
).

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo entre os vetores (1,0) e (1,1) em \mathbb R^2 com o produto interno
\langle x,y\rangle = x_1y_1 - x_2y_1 - x_1y_2 + 2x_2y_2.
Lembrando que, em qualquer espaço com produto interno, vale
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|},
onde \|u\| = \sqrt{\langle u,u\rangle}.

Passo 2

Calcular o produto interno entre (1,0) e (1,1):
\langle(1,0),(1,1)\rangle = 1\cdot1 \;-\;0\cdot1\;-\;1\cdot1\;+\;2\cdot0\cdot1 = 1 - 0 - 1 + 0 = 0.

Passo 3

Calcular os produtos internos “próprios” para obter as normas:
\langle(1,0),(1,0)\rangle = 1\cdot1 - 0\cdot1 - 1\cdot0 + 2\cdot0\cdot0 = 1,
\langle(1,1),(1,1)\rangle = 1\cdot1 - 1\cdot1 - 1\cdot1 + 2\cdot1\cdot1 = 1.
Logo \|(1,0)\| = \sqrt{1} = 1 e \|(1,1)\| = \sqrt{1} = 1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{\langle(1,0),(1,1)\rangle}{\|(1,0)\|\;\|(1,1)\|} = \frac{0}{1\cdot1} = 0.

Resposta

\cos\theta = 0.

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