Dado o sistema linear abaixo: rx-2 y+4 z=2 2 x-3 y+5 z=3 3 x-4 y+6 z=7.
a) Transcreva-o na forma matricial.
b) Resolva o sistema.
c) Qual a classificação deste sistema?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um sistema linear de três equações e três incógnitas \r
\r
O conteúdo aqui é álgebra linear: vamos escrever na forma matricial, usar determinantes e/ou eliminação para tentar resolver, e em seguida classificar o sistema.

Passo 2

Transcrevendo na forma matricial , onde\r

Passo 3

Vamos verificar primeiro se A é invertível, calculando o determinante:\r
det(A) =1cdotdet-3&5-4&6 -(-2)cdotdet2&53&6 +4cdotdet2&-33&-4 \r
Calculando cada menor:\r
det-3&5-4&6=-3cdot6-5cdot(-4)=2,
det2&53&6=2cdot6-5cdot3=-3,
det2&-33&-4=2cdot(-4)-(-3)cdot3=1 \r
Logo\r
det(A)=1cdot2 -(-2)cdot(-3)+4cdot1 = 2 -6 +4 = 0 \r
Como det(A)=0, o sistema é singular. Vamos então usar as duas primeiras equações para expressar x e y em função de um parâmetro z=t:\r
  1. Da primeira equação: x=2+2y-4z. \r
  2. Substituindo na segunda:\r
2(2+2y-4z)-3y+5z=3 ;Rightarrow;4+4y-8z-3y+5z=3 ;Rightarrow;y-3z=-1 ;Rightarrow;y=3t-1 \r
Então z=t e\r
x=2+2(3t-1)-4t=2+6t-2-4t=2t \r
Temos a família de soluções l(x,y,zr)=(2t,;3t-1,;t).\r
Mas ao impor a terceira equação:\r
3x-4y+6z =3(2t)-4(3t-1)+6t =6t-12t+4+6t =4neq7, \r
chegamos a 4=7, o que é impossível. Portanto não existe nenhum t que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Passo 4

Como o determinante de A é zero e a tentativa de solução gera contradição, o sistema não tem solução. Em terminologia de classificação de sistemas lineares, é um sistema inconsistente ou impossível.

Resposta

a) \r
b) Não existe solução. \r
c) O sistema é inconsistente (impossível).

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