Os elementos de A conforme a matriz acima (cada entrada está explicitada).
Não há outras informações externas (por ex.: vetores próprios, autovalores, etc.). Vou trabalhar apenas com a matriz dada.
Passo 2
O que o método de Cholesky exige (aula rápida e necessária).
O método de Cholesky pode ser aplicado exatamente quando a matriz é simétrica e definida positiva.
Simétrica significa \,A=A^{T}\, (entrada a_{ij}=a_{ji} para todo i,j).
Definida positiva significa que, para todo vetor não nulo x, vale \,x^{T}A x>0.
Para matrizes simétricas existe um critério prático (muito útil em prova): o critério de Sylvester — uma matriz simétrica é definida positiva se, e somente se, todos os menores principais principais (os determinantes dos sub-blocos superiores-esquerdos) forem positivos.
Vou então: (i) verificar simetria de A; (ii) aplicar o critério de Sylvester calculando os menores principais.
Passo 3
Verificação de simetria (passo simples e importante).
Calcular A^{T}. As colunas de A tornam-se linhas de A^{T}, então
Observa-se que A^{T}=A, ou seja, a_{ij}=a_{ji} para todas as entradas. Portanto A é simétrica.
Passo 4
Apresentação do critério que será usado para definir positividade (detalhe didático).
Pelo critério de Sylvester: para matriz simétrica 3\times3, calcular os três menores principais:
\Delta_{1}= determinante do bloco 1\times1 superior-esquerdo (apenas a_{11});
\Delta_{2}= determinante do bloco 2\times2 superior-esquerdo;
\Delta_{3}=\det(A).
Se \Delta_{1}>0, \Delta_{2}>0 e \Delta_{3}>0 então A é definida positiva. Se qualquer um for \le 0, A não é definida positiva.
Passo 5
Cálculo do primeiro menor principal \Delta_{1}.
\Delta_{1}=a_{11}=2.
Como \Delta_{1}=2>0, o primeiro requisito é satisfeito.
Passo 6
Cálculo do segundo menor principal \Delta_{2} (determinante do bloco 2\times2 superior-esquerdo).
O bloco é \begin{pmatrix}2 & -1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix}. O determinante de uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix} é ps-qr. Assim,
Como \Delta_{2}=3>0, o segundo requisito é satisfeito.
Passo 7
Cálculo do terceiro menor principal \Delta_{3}=\det(A) (determinante de 3\times3) passo a passo.
Uso expansão por co-fatores na primeira linha (método pedagogicamente simples). Para uma matriz 3\times3,
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é a matriz obtida removendo linha 1 e coluna j.
Aplicando ao caso:
Para j=1: a_{11}=2 e M_{11}=\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}. Então
Para j=3: a_{13}=0. Logo a contribuição é zero, não preciso calcular C_{13}.
Somando as contribuições:
\Delta_{3}=\det(A)=(-6)+1+0=-5.
Portanto \Delta_{3}=-5<0.
Passo 8
Interpretação e conclusão (o que isso significa para o Cholesky).
Pelo critério de Sylvester, todos os \Delta_{k} precisam ser positivos para A ser definida positiva. Aqui \Delta_{3}<0, então A não é definida positiva.
Já verificamos que A é simétrica, mas como não é definida positiva, a condição necessária para aplicar o método de Cholesky falha.
Observação adicional rápida e intuitiva: \det(A)<0 implica que o produto dos autovalores é negativo, então há pelo menos um autovalor negativo; assim existe vetor x com x^{T}A x<0, reforçando que A não é definida positiva.
Resposta
Não. A é simétrica, mas não é definida positiva (pois \det(A)=-5<0); portanto o método de Cholesky não se aplica.